2020届新高考数学艺考生总复习 第六章 立体几何 第2节 空间几何体的表面积与体积课件

高考总复习艺考生山东版数学第2节空间几何体的表面积与体积第六章立体几何最新考纲核心素养考情聚焦了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式1.空间几何体的表面积与侧面积、体积公式的学习与运用，达成直观想象、数学抽象和数学运算的素养．2.球与空间几何体的接、切问题，提升直观想象和数学运算的素养本部分是高考的重点内容，涉及空间几何体的表面积与体积计算等内容，命题形式以选择题、填空题为主，主要考查空间几何体的表面积、体积的计算等问题，解题要求有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想1．常见几何体的侧面展开图名称侧面展开图侧面展开图棱柱矩形圆柱矩形棱锥共顶点的三角形圆锥扇形棱台若干个小梯形圆台扇环2.常见旋转体的表(侧)面积名称图形表面积侧面积圆柱S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)S侧＝2πrl圆锥S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)S侧＝πrl圆台S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)S侧＝π(r＋r′)l球S＝4πr23.常见空间几何体的体积公式(1)设棱(圆)柱的底面积为S，高为h，则体积V＝Sh.(2)设棱(圆)锥的底面积为S，高为h，则体积V＝13Sh.(3)设棱(圆)台的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则体积V＝13(S′＋S′S＋S)h.(4)设球半径为R，则球的体积V＝43πR3.1.长方体的外接球球心：体对角线的交点；半径：r＝a2＋b2＋c22(a，b，c为长方体的长、宽、高)．2．正方体与球(1)正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为a，则|OJ|＝r＝a2(r为内切球半径)．(2)与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则|GO|＝R＝22a.3．正四面体与球如图，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，连接CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝23a，CE＝33a，则有R＋r＝23a，R2－r2＝|CE|2＝a23，解得R＝64a，r＝612a.4．三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球(1)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A1­AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD­A1B1C1D1的外接球的球心重合．如图，设AA1＝a，则R＝32a.(2)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R2＝a2＋b2＋c24＝l24(l为长方体的体对角线长)．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.()(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.()(3)若一个球的体积为43π，则它的表面积为12π.()(4)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.()(5)将圆心角为2π3，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.()(6)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D­ABC的体积为312a3.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×[小题查验]1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7B．6C．5D．3解析：A[设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.]2．(2016·全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．12πB.323πC．8πD．4π解析：A[设正方体的棱长为a，则a3＝8，解得a＝2.设球的半径为R，则2R＝3a，即R＝3.所以球的表面积S＝4πR2＝12π.]3．(2019·平顶山市一模)高为5，底面边长为43的正三棱柱形容器(下有底)内，可放置最大球的半径是()A.32B．2C.322D.2解析：B[由题意知，正三棱柱形容器内有一个球，其最大半径为r，r即为底面正三角形的内切圆半径．∵底面边长为43的正三角形，则r＝2，故选B.]4．[人教A版教材P28A组T3改编]如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝13×12×12a×12b×12c＝148abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－148abc＝4748abc，所以V1∶V2＝1∶47.答案：1∶475．一个空间几何体的所有棱长均为1cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V＝____cm3.解析：由表面展开图可知，该几何体下面是一个边长为1的正方体，其体积为1；上面是一个棱长为1的正四棱锥，其体积为13×1×1×322－122＝26.答案：1＋26考点一空间几何体的表面积与侧面积(自主练透)[题组集训]1．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是()A．1∶2B．2∶3C．1∶3D．1∶4解析：B[设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，依题意得l＝2r，而S侧＝2πrl，S全＝2πr2＋2πrl，∴S侧∶S全＝2πrl∶(2πr2＋2πrl)＝2∶3.]2．圆台的母线长扩大到原来的n倍，两底面半径都缩小为原来的1n，那么它的侧面积为原来的________倍．解析：设改变之前圆台的母线长为l，上底半径为r，下底半径为R，则侧面积为π(r＋R)l，改变后圆台的母线长为nl，上底半径为rn，下底半径为Rn，则侧面积为πr＋Rnnl＝π(r＋R)l，故它的侧面积为原来的1倍．答案：13.如图所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AC⊥BC，AC＝4，BC＝CC1＝2.若用平行于三棱柱A1B1C1­ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为________.解析：由题意知，拼接后的长方体有两种情形：一是长方体的高为2，底面是边长为2的正方形；二是长方体的高为2，底面是长为4，宽为1的矩形．所以其表面积分别为24,28，故长方体表面积的最小值为24.答案：24几何体表面积的求法(1)求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．提醒：组合体的表面积应注意重合部分的处理．考点二空间几何体的体积(师生共研)[典例](1)中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个“羡除”的体积是()A．110B．116C．118D．120直观想象、数学建模与数学运算——空间几何体体积公式在实际问题应用中的核心素养以学习的空间几何体的体积为基础，通过对实际问题的抽象，转化为立体几何问题，结合图形和数据，采用适当的方法得以求解，体现了直观想象、数学建模和数学运算的核心素养．具体见下表：信息提取信息解读直观想象、数学建模、数学运算题图为一羡除，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10EF到平面ABCD的距离为3即等腰梯形ABFE的高；CD与AB间的距离为10即等腰梯形ABCD的高方法一(补形法)：根据所给图形，将该羡除分割后补形为一个直三棱柱，其底面为直角三角形，两直角边分别为10和3.棱柱的高为8.然后利用柱体的体积公式进行计算．方法二(分割法)：将该羡除分割为一个底面为等腰梯形ABCD，高为3的四棱锥和一个底面为三角形BFE，高为10的三棱锥．然后利用椎体的体积公式进行计算求这个“羡除”的体积考虑使用空间几何体的体积公式[解析]D[方法一(补形法)：第一步，将该羡除分割补形．如图1，过点A作AP⊥CD，AM⊥EF，过点B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为P，M，Q，N，连接PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为12×10×3＝15.棱柱的高为8.第二步，利用柱体的体积公式计算求出该羡除的体积．所以该羡除的体积V＝15×8＝120.故选D.图1方法二(分割法)：第一步，将该羡除分割．如图2,连接CE，BE，DB，则这个“羡除”的体积V＝VE－ABCD＋VC－BEF.因为VE－ABCD＝13×12(6＋8)×10×3＝70，VC－BEF＝13×12×10×3×10＝50.第二步，利用椎体的体积公式计算求出该羡除的体积．所以这个羡除的体积V＝VE－ABCD＋VC－BEF＝70＋50＝120.故选D.]图2(2)(2019·全国Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.[解析]此题牵涉到的是3D打印新时代背景下的几何体质量，忽略问题易致误，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．由题意得，四棱锥O－EFGH的底面积为4×6－4×12×2×3cm2＝12cm2，其高为点O到底面BB1C1C的距离为3cm，则此四棱锥的体积为V1＝13×12×3cm3＝12cm3.又长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V2＝4×6×6cm3＝144cm3，所以该模型体积为V＝V2－V1＝(144－12)cm3＝132cm3，其质量为0.9×132g＝118.8g.[答案]118.8(3)(2018·全国Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________.解析：如图所示，∠SAO＝30°，设圆锥的底面圆半径为R，则SO＝Rtan30°＝33R，SA＝Rcos30°＝233R，又∵SA⊥SB，∴△SAB的面积S＝12SA·SB＝12233R2＝8.∴R＝23，∴圆锥的体积为V＝13πR2·SO＝39πR3＝39π(23)3＝8π.答案：8π与空间几何体的体积有关的常见题型与求解策略常见题型求解策略锥体、柱体、台体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解球的体积问题直接利用球的体积公式求解，对于实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径不规则几何体的体积问题常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解提醒：求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决．[跟踪训练](2017·全国Ⅰ卷)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，