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高考总复习艺考生山东版数学第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理第九章计数原理、概率、随机变量及其分布最新考纲核心素养考情聚焦1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题1.分类加法计数原理,达成数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养.2.分步乘法计数原理,达成数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养.3.两个原理的综合应用,提升数据分析、逻辑推理和数学抽象的素养预计2020年的高考将两个计数原理和排列组合结合起来考查,一般以选择题、填空题形式出现,难度不大,属中低档题型分类加法计数原理与分步乘法计数原理原理分类加法计数原理分步乘法计数原理定义完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法区别各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事各个步骤中的方法互相依存,只有各个步骤都完成才能做完这件事分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础,并贯穿其始终.(1)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类,并且只属于其中一类.(2)分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,步与步之间的方法“相互独立,分步完成”.[思考辨析]判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”.(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.()(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.()(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.()(4)在分步乘法计数原理中,任何一个单独的步骤都能完成这件事.()(5)在分步乘法计数原理中,只有各步骤都完成后,这件事情才算完成.()答案:(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√[小题查验]1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取法的种数有()A.30B.20C.10D.6解析:D[从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两数和为偶数可分为两类,①取出的两数都是偶数,共有3种方法;②取出的两数都是奇数,共有3种方法,故由分类加法计数原理得共有N=3+3=6种.故选D.]2.(人教A版教材P10A组T4改编)已知某公园有4个门,从一个门进,另一个门出,则不同的走法的种数为()A.16B.13C.12D.10解析:C[将4个门编号为1,2,3,4,从1号门进入后,有3种出门的方式,共3种走法,从2,3,4号门进入,同样各有3种走法,共有不同走法3×4=12(种).]3.(2019·石家庄市模拟)教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有()A.10种B.25种C.52种D.24种解析:D[每相邻的两层之间各有2种走法,共分4步.由分步乘法计数原理,共有24种不同的走法.故选D.]4.(2019·泉州市模拟)如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D4块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则涂色方法共有________种(用数字作答).解析:从A开始涂色,A有6种涂色方法,B有5种涂色方法,C有4种涂色方法,D有4种涂色方法.由分步乘法计数原理可知,共有6×5×4×4=480(种)涂色方法.答案:4805.(选修2-3P12A组第4题改编)如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有________种.解析:当第一组开关有一个接通时,电路接通有C12(C13+C23+C33)=14(种)方法;当第一组开关有两个接通时,电路接通有C22(C13+C23+C33)=7(种)方法.所以共有14+7=21(种)开闭方式.答案:21考点一分类加法计数原理(自主练透)[题组集训]1.(2019·重庆市模拟)如图,A、B、C、D为四个村庄,要修筑三条公路,将这四个村庄连起来,则不同的修筑方法共有()A.8种B.12种C.16种D.20种解析:C[分为以下两类:第一类,从一个村庄出发向其他三个村庄各修一条路,共有4种方法;第二类,一个村最多修两条路,但是象下面这样的两个排列对应一种修路方法,A-B-C-D,D-C-B-A,要去掉重复的这样,因此共有有12A44=12(种)方法.根据分类计数原理,知道共有4+12=16(种),故选C.]2.A与B是I={1,2,3,4}的子集,若A∩B={1,2},则称(A,B)为一个理想配集,若将(A,B)与(B,A)看成不同的“理想配集”,则符合此条件的“理想配集”的个数是()A.4B.8C.9D.16解析:C[(1)对子集A分类讨论.当A是二元集{1,2},B可以为{1,2,3,4},{1,2,4},{1,2,3},{1,2}共4种情况;当A是三元集{1,2,3},B可以取{1,2,4},{1,2}共有2种情况;当A是三元集{1,2,4},B可以取{1,2,3},{1,2},共有2种情况;当A是四元集{1,2,3,4},此时B取{1,2}有1种情况,根据分类加法计数原理得4+2+2+1=9(种),故符合此条件的“理想配集”有9个.故选C.]3.(2019·柳州一模)某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为i(i=1,2,…6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有()A.22种B.24种C.25种D.36种解析:C[由题意知正方形ABCD(边长为3个单位)的周长是12,抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12,列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1,5,6;2,4,6;3,4,5;3,3,6;5,5,2;4,4,4;共有6种组合,前三种组合1,5,6;2,4,6;3,4,5;又可以排列出A33=6(种)结果,3,3,6;5,5,2;有6种结果,4,4,4;有1种结果.根据分类计数原理知共有24+1=25(种)结果,故选C.](1)运用分类加法计数原理解决问题就是将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”,先分类解决,然后将其整合,如何合理进行分类是解决问题的关键.(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点:①根据问题的特点确定一个适合的分类标准;②完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.提醒:分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是独立的.对于分类问题所含类型较多时也可以考虑使用间接法.考点二分步乘法计数原理(师生共研)[典例](1)(2016·全国Ⅱ卷)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9(2)(2019·威海市一模)某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有()A.A26×A45种B.A26×5种C.C26×A45种D.C26×54种[解析](1)从E到G最短路径条数为C24·C29=18.故选B.(2)有两个年级选择甲博物馆共有C26种情况,其余四个年级每个年级各有5种选择情况,故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C26×54种,故选D.[答案](1)B(2)D利用分步乘法计数原理解决问题时要注意:(1)要按事件发生的过程合理分步,即考虑分步的先后顺序.(2)各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各步骤都完成才算完成这个事件.(3)对完成各步的方法数要准确确定.[提醒]分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分,而未完成这件事,步步之间是相关联的.[跟踪训练]1.(2019·广元市模拟)在航天员进行一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方法共有()A.34种B.48种C.96种D.144种解析:C[根据题意,程序A只能出现在第一步或最后一步,则从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列,有A12=2种结果,又由程序B和C实施时必须相邻,把B和C看做一个元素,同除A外的3个元素排列,注意B和C之间还有一个排列,共有A44A22=48种结果,根据分步计数原理知共有2×48=96种结果,故选C.]2.(2019·海淀区一模)一次数学会议中,有五位教师来自A,B,C三所学校,其中A学校有2位,B学校有2位,C学校有1位.现在五位教师排成一排照相,若要求来自同一所学校的教师不相邻,则共有________种不同的站队方法.解析:有五位教师来自A,B,C三所学校,其中A学校有2位,B学校有2位,C学校有1位.现在五位教师排成一排照相,要求来自同一所学校的教师不相邻,①先按A学校和C学校的三位老师,有A22中排法,再把B学校的两位老师插空排到A学校和C学校的三位老师的空位中,有A24=12(种)排法,由分步乘法计数原理得不同的排列方法有:A22·A24=24(种),②先按B学校和C学校的三位老师,有A22中排法,再把A学校的两位老师插空排到B学校和C学校的三位老师的空位中,有A24=12(种)排法,由分步乘法计数原理得不同的排列方法有:A22·A24=24(种),综上,共有N=2×(A22A24)=48(种)不同的站队方法.答案:48.考点三两个原理的综合应用(多维探究)[命题角度1]涂色问题1.(2019·石景山区一模)现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的涂色方法共有()A.24种B.30种C.36种D.48种解析:D[根据题意,设需要涂色的四个部分依次分①、②、③、④,对于区域①,有4种颜色可选,有4种涂色方法,对于区域②,与区域①相邻,有3种颜色可选,有3种涂色方法,对于区域③,与区域①②相邻,有2种颜色可选,有2种涂色方法,对于区域④,与区域②③相邻,有2种颜色可选,有2种涂色方法,则不同的涂色方法有4×3×2×2=48(种);故选D.]涂色问题大致有两种解答方案:(1)选择正确的涂色顺序,按步骤逐一涂色,这时用分步乘法计数原理进行计数;(2)根据涂色时所用颜色数的多少,进行分类处理,这时用分类加法计数原理进行计数.2.如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为________.解析:法一:可分为两大步进行,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用分步乘法计数原理即可得出结论.由题设,四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同,它们共有5×4×3=60(种)染色方法.当S、A、B染好时,不妨设其颜色分别为1、2、3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法;若C染4,则D可染3或5,有2种染法;若C染5,则D可染3或4,有2种染法.可见,当S、A、B已染好时,C、D还有7种染法,故不同的染色方法有60×7=420(种).法二:以S、A、B、C、D顺序分步染色.第一步,S点染色,有5种方法;第二步,A点染色,与S在同一条棱上,有4种方法;第三步,B点染色,与S、A分别在同一条棱上,有3种方法;第四步,C点染色,也有3种方法,但考虑到D点与S、A、C相邻,需要针对A与C是否同色进行分类,当A与C同色时,D点有3种染色方法;当A与C不同色时,因为C与S、B也不同色,所以C点有2种染色方法,D点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3+2×2)=420(种).法三:按所用颜色种数分类.第一类,5种颜色全用,共有A55种不同的方法;第二类,只用4种颜色,则必有某两个
本文标题:2020届新高考数学艺考生总复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第1节 分类加法计数原理
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