2020届高考数学总复习 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 5-4 数系的扩充与复数的引入课

第4讲数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若_______，则a＋bi为实数，若_______，则a＋bi为虚数，若______________，则a＋bi为纯虚数．b＝0b≠0a＝0且b≠0(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔______________________(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔________________________(a，b，c，d∈R)．a＝c，b＝da＝c，b＝－d(4)复数的模：向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.2．复数的几何意义3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝___________________；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝___________________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__________________；(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝_______________，(z1＋z2)＋z3＝_________________．z2＋z1z1＋(z2＋z3)题组一常识题1．(教材改编)若复数z＝m＋1＋(m2＋m－2)i为实数，则实数m的值是________.【解析】依题意知m2＋m－2＝0，解得m＝1或m＝－2.【答案】1或－22．(教材改编)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是________．【解析】z的共轭复数对应的点与z对应的点关于实轴对称，点B是点A关于实轴的对称点．【答案】B【答案】2－i3．(教材改编)已知(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝________．【解析】z＝4＋3i1＋2i＝（4＋3i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝10－5i5＝2－i.4．(教材改编)若复数z＝1＋2i，则复数z的模等于________．【解析】∵z＝1＋2i，∴|z|＝1＋4＝5.【答案】5题组二常错题◆索引：(1)复数的分类把握不准导致出错；(2)复数的几何意义理解有误；(3)复数相等与共轭复数概念把握不牢固致误．5．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a＝________．【答案】2【解析】因为复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，所以a2－3a＋2＝0，a－1≠0，解得a＝2.本题易忽【答案】(4，－2)6．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是______________．【解析】由于iz＝2＋4i，所以z＝2＋4ii＝4－2i，故z在复平面内对应点的坐标为(4，－2)．本题在找z的对应点时，易写成(4，2)而致误．7．已知复数z满足z＋3z＝4－2i，(i为虚数单位)，则z＝________.【解析】设z＝a＋bi，则z＝a－bi，∵z＋3z＝4－2i，∴a＋bi＋3a－3bi＝4－2i，∴4a－2bi＝4－2i，∴4a＝4，2b＝2，∴a＝1，b＝1，∴z＝1＋i.【答案】1＋i考点一复数的有关概念【例1】(1)(2018·全国Ⅰ卷)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A．0B.12C．1D.2(2)已知a∈R，i为虚数单位，若a－i2＋i为实数，则a的值为__________．【解析】(1)法一：因为z＝1－i1＋i＋2i＝（1－i）2（1＋i）（1－i）＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C.法二：因为z＝1－i1＋i＋2i＝1－i＋2i（1＋i）1＋i＝－1＋i1＋i，所以|z|＝－1＋i1＋i＝|－1＋i||1＋i|＝22＝1，故选C.(2)由a－i2＋i＝（a－i）（2－i）5＝2a－15－2＋a5i是实数，得－2＋a5＝0，所以a＝－2.【答案】(1)C(2)－2【反思归纳】【答案】B跟踪训练1(2019·合肥质检)已知复数z＝2＋i1－i(i为虚数单位)，那么z的共轭复数为()A.32＋32iB.12－32IC.12＋32iD.32－32i【解析】z＝2＋i1－i＝（2＋i）（1＋i）（1－i）（1＋i）＝12＋32i，所以z的共轭复数为12－32i，故选B.跟踪训练2(2019·湘东五校联考)已知i为虚数单位，若复数z＝a1－2i＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝()A．－5B．－1C．－13D．－53【解析】z＝a1－2i＋i＝a（1＋2i）（1－2i）（1＋2i）＋i＝a5＋2a＋55i，因为复数z＝a1－2i＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，所以－a5＝2a＋55，解得a＝－53.故选D.【答案】D考点二复数的几何意义【例2】(1)(2019·石家庄质检)在复平面中，复数1（1＋i）2＋1对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3，1)B．(－1，3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)【解析】(1)复数1（1＋i）2＋1＝11＋2i＝1－2i（1＋2i）（1－2i）＝15－25i，其在复平面内对应的点为15，－25，位于第四象限，故选D.(2)由题意知m＋3＞0，m－1＜0，即－3＜m＜1.故实数m的取值范围为(－3，1)．【答案】(1)D(2)A【反思归纳】跟踪训练3(1)若复数z＝(a－1)＋3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y＝x＋2上，则a的值等于()A．1B．2C．5D．6(2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5B．5C．－4＋iD．－4－i【解析】(1)复数z＝(a－1)＋3i在复平面内对应的点(a－1，3)在直线y＝x＋2上，3＝a－1＋2，a＝2，故选B.(2)∵z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2，1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(－2，1)即z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.【答案】(1)B(2)A考点三复数的代数运算【例3】(1)(2019·广东五校诊断)已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则a＋i20201＋i＝()A．1B．0C．1＋ID．1－i(2)(2019·武昌调研)已知(z－1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i是虚数单位，z是z的共轭复数)，则z的虚部为()A．1B．－1C．iD．－i【解析】(1)z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则有a2－1＝0，a＋1≠0，得a＝1，则有1＋i20201＋i＝1＋11＋i＝2（1－i）（1＋i）（1－i）＝1－i.(2)因为z＝4＋3i2－i＋1－3i＝（4＋3i）（2＋i）（2－i）（2＋i）＋1－3i＝1＋2i＋1－3i＝2－i，所以z＝2＋i，z的虚部为1，故选A.【答案】(1)D(2)A【反思归纳】跟踪训练4(1)已知i是虚数单位，1＋i1－i8＋21－i2018＝__________．(2)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则ab的值为________．【解析】(1)原式＝1＋i1－i8＋21－i21009＝i8＋2－2i1009＝i8＋i1009＝1＋i4×252＋1＝1＋i.(2)∵(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，∴1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，∴ab＝2.【答案】(1)1＋i(2)2