2020届高考数学总复习 第四章 三角函数、解三角形 4-7 解三角形的应用举例课件 文 新人教A版

第7讲解三角形的应用举例1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线________时叫仰角，目标视线在水平视线________时叫俯角．(如图①)．上方下方2．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向____________转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．顺时针题组一常识题1．(教材改编)海上有A，B，C三个小岛，A，B相距53海里，从A岛望C和B成45°视角，从B岛望C和A成75°视角，则B，C两岛间的距离是__________海里．【解析】易知∠ACB＝60°，由正弦定理得ABsinC＝BCsinA，即53sin60°＝BCsin45°，解得BC＝52.【答案】522．(教材改编)已知△ABC中，AB＝3，AC＝2，A＝60°，则△ABC的面积为__________．【解析】由面积公式得S△ABC＝12AB·AC·sinA＝342.【答案】3423.(教材改编)如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20m，则山高CD＝__________m．(塔底大小忽略不计)【解析】如图，设CD＝xm，则AE＝(x－20)m，tan60°＝CDBD，所以BD＝CDtan60°＝x3＝33x(m)．在△AEC中，有x－20＝33x，解得x＝10(3＋3)m.【答案】10(3＋3)题组二常错题◆索引：仰角、俯角概念不清；方向角概念不清；方位角概念不清；不能将空间问题演变为解三角形问题．4．如图所示，在某次测量中，在A处测得同一铅垂平面的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________．【解析】∠BAC＝60°＋70°＝130°.【答案】130°5．点A在点B的南偏西20°方向上，若以点B为基点，则点A的方位角是__________．【解析】根据方位角概念可得点A的方位角为200°.【答案】200°6．为了测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶上测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是__________．【解析】如图所示，由已知可知，四边形CBMD为正方形而CB＝20m，∴BM＝20m.又在Rt△AMD中，DM＝20m，∠ADM＝30°，∴AM＝DMtan30°＝2033(m)，∴AB＝AM＋MB＝2033＋20＝201＋33m.【答案】201＋33m考点一距离问题【例1】如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1km，AC＝3km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)【解析】在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1，因为∠ABD＝120°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，解得AD＝3，在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos150°，得9＝3＋CD2＋23×32CD，即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝33－32，BC＝BD＋CD＝33－12，2个小时小王和小李可徒步攀登1250×2＝2500米，即2.5千米，而33－1236－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在2个小时内徒步登上山峰．【反思归纳】跟踪训练1如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为__________m.【解析】∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，ABsinC＝ACsinB，∴AB＝AC·sinCsinB＝60×sin45°sin60°＝206(m)，即A，B两点间的距离为206m.【答案】206考点二高度问题【例2】(2019·济南模拟)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝__________m.【解析】由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得600sin45°＝BCsin30°，解得BC＝3002m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×33＝1006(m)．【答案】1006【反思归纳】跟踪训练2如图，从某电视塔CO的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B处测得塔顶的仰角为45°，AB间的距离为35米，则这个电视塔的高度为________米．【解析】如图，可知∠CAO＝60°，∠AOB＝150°，∠OBC＝45°，AB＝35米．设OC＝x米，则OA＝33x米，OB＝x米．在△ABO中，由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，即352＝x23＋x2－233x2·cos150°，整理得x＝521，所以此电视塔的高度是521米．【答案】521考点三角度问题【例3】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．【解析】如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理，得BCsinα＝ACsin120°，解得sinα＝20sin120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.【反思归纳】跟踪训练3如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．【解析】在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝207.由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝277.由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝2114.