2020届高考数学总复习 第四章 三角函数、解三角形 4-1 任意角、弧度制及任意角的三角函数课件

第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着_______从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．端点(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于___________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.半径长(2)公式：角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1rad＝180π°弧长公式弧长l＝扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r2|α|r3.任意角的三角函数【知识拓展】(1)任意角的三角函数的定义(推广)．设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(y≠0)．(2)单位圆上任意一点可设为(cosθ，sinθ)(θ∈R)．(3)若α∈0，π2，则sinα＜α＜tanα.【答案】{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}【解析】终边在射线y＝－3x(x0)上的最小正角为120°，所以与其终边相同的角的集合为{α|}α＝k·360°＋120°，k∈Z.2．(教材改编)(1)－270°＝________rad.(2)310πrad＝________°.【解析】(1)－270°＝－270180×π＝－32π.(2)310πrad＝3π10×180π°＝54°.【答案】(1)－32π(2)54【答案】1.23．(教材改编)半径为120mm的圆上长为144mm的弧所对圆心角的弧度数是________.【解析】根据圆心角弧度数的计算公式得，α＝144120＝1.2.4．(教材改编)若角α的终边经过点P(3，－4)，则cosα－tanα－sinα＝________．【解析】r＝32＋（－4）2＝5，所以sinα＝－45＝－45，cosα＝35，tanα＝－43＝－43，所以cosα－tanα－sinα＝4115.【答案】4115题组二常错题◆索引：对角的范围把握不准；由值求角时没有注意角的范围；求三角函数值没有考虑角的终边所在的象限；求弧长或者扇形面积时，把角化为弧度数出错．5．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第二象限，则在[0，2π]内α的取值范围是________.【解析】由题意得sinα－cosα0，tanα0，∴α的取值范围为0，π4∪5π4，3π2.【答案】0，π4∪5π4，3π26．已知角α的终边落在直线y＝－3x上，则－＝________.【解析】∵角α的终边落在直线y＝－3x上，∴不妨在角α的终边上取一点P(x0，－3x0)．当x00时，P在第二象限，∴|sinα|sinα－|cosα|cosα＝sinαsinα－－cosαcosα＝1＋1＝2.当x00时，P在第四象限，∴|sinα|sinα－|cosα|cosα＝－sinαsinα－cosαcosα＝－1－1＝－2.【答案】±2【答案】－27．已知角θ的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，若P(x，6)是角θ终边上一点，且cosθ＝－1010，则x＝________.【解析】由已知，得r＝|OP|＝x2＋36，由三角函数的定义，得cosθ＝xx2＋36，因为cosθ＝－1010，所以xx2＋36＝－1010，解得x＝±2，又cosθ＝－10100，所以x0，故x＝－2.【答案】80π8．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为________cm2.【解析】72°＝2π5，所以S扇形＝12×2π5×202＝80π(cm2)．考点一象限角及终边相同的角【例1】(1)若角α是第二象限角，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角(2)终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．【解析】(1)因为α是第二象限角，所以π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，所以π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．(2)如图，在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为－53π，－23π，π3，43π.【答案】(1)C(2)－53π，－23π，π3，43π【互动探究】在本例(1)的条件下，判断2α为第几象限角？【解析】因为α是第二象限角，所以90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．【反思归纳】【解析】所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°0°，跟踪训练1在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．得－765°≤k×360°－45°，解得－765360≤k－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.【答案】－675°或－315°考点二扇形的弧长及面积公式【例2】已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解析】(1)α＝60°＝π3rad，∴l＝α·R＝π3×10＝10π3(cm)．(2)由题意得l＋2R＝20，∴l＝20－2R(0R10)．∴S扇＝12l·R＝12(20－2R)·R＝(10－R)·R＝－R2＋10R.∴当且仅当R＝5时，S有最大值25.此时l＝20－2×5＝10，α＝lR＝105＝2(rad)．∴当α＝2rad时，扇形面积取最大值．【反思归纳】跟踪训练2已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10，(1)求弦AB所对的圆心角α的大小．(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.【解析】(1)如图所示，过O作OC⊥AB于点C，则AC＝5，在Rt△ACO中，sin∠AOC＝ACAO＝510＝12，∴∠AOC＝30°，∴α＝2∠AOC＝60°.(2)∵60°＝π3，∴l＝|α|r＝10π3.S扇＝12lr＝12×10π3×10＝50π3.又S△AOB＝12×10×10sinπ3＝253，∴S弓形＝S扇－S△AOB＝50π3－253＝50π3－32.考点三三角函数的定义及其应用角度1利用定义求三角函数值【例3】已知角α的终边经过点P(－4a，3a)(a0)，则2sinα＋cosα的值为()A．－25B.25C．0D.25或－25【解析】因为x＝－4a，y＝3a，a＜0，所以r＝－5a，所以sinα＝－35，cosα＝45，2sinα＋cosα＝2×－35＋45＝－25.故选A.【答案】A【解析】角α在第三象限时，sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，满足题意．选C项．【答案】C角度2判断三角函数值的符号【例4】若sinαtanα＜0，且cosαtanα＜0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【反思归纳】