2020届高考数学总复习 第三章 导数及其应用 3-2-3 导数与不等式证明(选学)课件 文 新人教

第3课时导数与不等式证明(选学)考点一直接将不等式转化为函数的最值【例1】(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性．(2)当a0时，证明f(x)≤－34a－2.【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x＋2ax＋2a＋1＝（x＋1）（2ax＋1）x.当a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a0，则当x∈0，－12a时，f′(x)0；当x∈－12a，＋∞时，f′(x)0.故f(x)在0，－12a上单调递增，在－12a，＋∞上单调递减．(2)证明：由(1)知，当a0时，f(x)在x＝－12a取得最大值，最大值为f－12a＝ln－12a－1－14a.所以f(x)≤－34a－2等价于ln－12a－1－14a≤－34a－2，即ln－12a＋12a＋1≤0.设g(x)＝lnx－x＋1，则g′(x)＝1x－1.当x∈(0，1)时，g′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x0时，g(x)≤0.从而当a0时，ln－12a＋12a＋1≤0，即f(x)≤－34a－2.【反思归纳】考点二将不等式转化为两个函数的最值进行比较【例2】(2019·济南模拟)已知f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t0)上的最小值．(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx1ex－2ex成立．【解析】(1)由f(x)＝xlnx，x0，得f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝1e.当x∈0，1e时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈1e，＋∞时，f′(x)0，f(x)单调递增．①当0t1et＋2，即0t1e时，f(x)min＝f1e＝－1e；②当1e≤tt＋2，即t≥1e时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝tlnt.所以f(x)min＝－1e，0t1etlnt，t≥1e.(2)证明：问题等价于证明xlnxxex－2e(x∈(0，＋∞))．由(1)可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))的最小值是－1e，当且仅当x＝1e时取到．设m(x)＝xex－2e(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝1－xex，由m′(x)0得x1时，m(x)为减函数，由m′(x)0得0x1时，m(x)为增函数，易知m(x)max＝m(1)＝－1e，当且仅当x＝1时取到．从而对一切x∈(0，＋∞)，xlnx≥－1e≥xex－2e，两个等号不同时取到，即证对一切x∈(0，＋∞)都有lnx1ex－2ex成立．【反思归纳】考点三构造函数证明不等式【例3】(2019·合肥模拟)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性．(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜x－1lnx＜x.(3)设c＞1，证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx.【解析】(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－1，令f′(x)＝0解得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．(2)证明：由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.所以当x≠1时，lnx＜x－1.故当x∈(1，＋∞)时，lnx＜x－1，ln1x＜1x－1，即1＜x－1lnx＜x.(3)证明：由题设c＞1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，则g′(x)＝c－1－cxlnc，令g′(x)＝0，解得x0＝lnc－1lnclnc.当x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．由(2)知1＜c－1lnc＜c，故0＜x0＜1.又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0.所以当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx.【反思归纳】考点四赋值法证明正整数不等式【例4】(2019·铜川模拟)若函数f(x)＝ex－ax－1(a0)在x＝0处取极值．(1)求a的值，并判断该极值是函数的最大值还是最小值．(2)证明1＋12＋13＋…＋1nln(n＋1)(n∈N*)．【解析】(1)因为x＝0是函数极值点，所以f′(0)＝0，所以a＝1.f(x)＝ex－x－1，易知f′(x)＝ex－1.当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0，当x∈(－∞，0)时，f′(x)0，故极值f(0)是函数最小值．(2)证明：由(1)知ex≥x＋1.即ln(x＋1)≤x，当且仅当x＝0时，等号成立，令x＝1k(k∈N*)，则1kln1＋1k，即1kln1＋kk，所以1kln(1＋k)－lnk(k＝1，2，…，n)，累加得1＋12＋13＋…＋1nln(n＋1)(n∈N*)．【反思归纳】