2020届高考数学总复习 第三章 导数及其应用 3-2-1 导数的应用课件 文 新人教A版

第2讲导数的应用1．函数的单调性在(a，b)内函数f(x)可导，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为________．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为________．增函数减函数2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_________，右侧________，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)＜0f′(x)＞0(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧_________，右侧_________，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．f′(x)＞0f′(x)＜03．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则______为函数的最小值，______为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则______为函数的最大值，______为函数的最小值．f(a)f(b)f(a)f(b)【知识拓展】1.在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．题组一常识题1．(教材改编)函数f(x)＝ex－2x的单调递增区间是________．【解析】f′(x)＝ex－2，令f′(x)0，解得xln2，则函数f(x)＝ex－2x的单调递增区间为(ln2，＋∞)．【答案】(ln2，＋∞)2．(教材改编)函数f(x)＝x3－12x的极小值是________，极大值是________．【解析】由题意得f′(x)＝3x2－12.令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x∈(－2，2)时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递增．因此f(x)的极大值为f(－2)＝16，极小值为f(2)＝－16.【答案】－1616【答案】aa3．(教材改编)一条长为2a的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积之和最小，两段铁丝的长度分别是________，________.【解析】设两段铁丝的长分别为x，2a－x，则两个正方形的面积之和S＝x216＋（2a－x）216＝x28－ax4＋a24，则S′＝x4－a4.令S′＝0得x＝a.当xa时，S′0；当xa时，S′0.所以S在x＝a处取得极小值也是最小值，所以两段铁丝的长都是a.题组二常错题◆索引：求单调区间忘记定义域；对存在和任意的不等关系理解不清；对求极值和最值过程中存在的分类情况考虑不全．4．函数y＝x2－lnx的极值点为________．【解析】y′＝2x－1x＝2x2－1x(x＞0)，令y′＝0，得x＝－22(舍去)或x＝22.【答案】22【答案】115．函数f(x)＝x2－2lnx的极小值为________，最小值为________．【解析】f′(x)＝2x－2x＝2x2－2x(x0)，令f′(x)＝0，得x＝－1(舍去)或x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，所以x＝1是f(x)的极小值点，f(1)＝1是f(x)的极小值，也是最小值．6．若函数f(x)＝kx－lnx在区间[2，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________．【解析】f′(x)＝k－1x，由已知得f′(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立，故k≥1xmax.因为x≥2，所以01x≤12，故k的取值范围是12，＋∞.【答案】12，＋∞【答案】增7．函数f(x)＝x－lnx在(2，＋∞)上单调递________．(填“增”或“减”)【解析】f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)＞0，得x＞1，所以函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，所以函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增．第1课时导数与函数的单调性考点一求函数的单调区间【解析】【反思归纳】跟踪训练1设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6)．(1)确定a的值．(2)求函数f(x)的单调区间．【解析】(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋6x.令x＝1，得f(1)＝16a,f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0，6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝12.(2)由(1)知，f(x)＝12(x－5)2＋6lnx(x0)，f′(x)＝x－5＋6x＝（x－2）（x－3）x.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当0x2或x3时，f′(x)0，故f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数；当2x3时，f′(x)0，故f(x)在(2，3)上为减函数．考点二利用导数研究函数单调性的应用函数的单调性是高考命题的重点，其应用是考查热点．常见的命题角度有：(1)y＝f(x)与y＝f′(x)的图象辨识；(2)比较大小；(3)已知函数单调性求参数的取值范围．角度1y＝f(x)与y＝f′(x)图象辨识【例2】已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()【解析】由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．【答案】B角度2比较大小【例3】函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，设a＝f(0)，b＝f12，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜c＜a【答案】C【解析】因为当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，所以f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a＝f(0)＜f12＝b，又f(x)＝f(2－x)，所以c＝f(3)＝f(－1)，所以c＝f(－1)＜f(0)＝a，所以c＜a＜b，故选C.D．b＜c＜a角度3已知函数单调性求参数的取值范围【例4】(2019·宝鸡质检)已知函数f(x)＝x2＋4x＋alnx，若函数f(x)在(1，2)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－6，＋∞)B．(－∞，－16)C．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)D．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)【解析】∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x＋4＋ax＝2x2＋4x＋ax，f(x)在(1，2)上是单调函数，∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(1，2)上恒成立，即2x2＋4x＋a≥0或2x2＋4x＋a≤0在(1，2)上恒成立，即a≥－(2x2＋4x)或a≤－(2x2＋4x)在(1，2)上恒成立．记g(x)＝－(2x2＋4x)，1＜x＜2，则－16＜g(x)＜－6，∴a≥－6或a≤－16，故选C.【答案】C【答案】(0，1)∪(2，3)【例5】(2019·海口模拟)已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3lnx在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．【解析】由题意知f′(x)＝－x＋4－3x＝－（x－1）（x－3）x，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，∴1∈(t，t＋1)或3∈(t，t＋1)⇔t＜1，t＋1＞1或t＜3，t＋1＞3⇔0＜t＜1或2＜t＜3.【反思归纳】【答案】A跟踪训练2R上可导的任意函数f(x)，若满足1－xf′（x）≤0，则必有()A．f(0)＋f(2)＞2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)＜2f(1)D．f(0)＋f(2)≥2f(1)【解析】当x＜1时，f′(x)＜0，此时函数f(x)单调递减，当x＞1时，f′(x)＞0，此时函数f(x)单调递增，∴当x＝1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值，∴f(0)＞f(1)，f(2)＞f(1)，则f(0)＋f(2)＞2f(1)．跟踪训练3已知函数f(x)＝xsinx，x1，x2∈－π2，π2，且f(x1)＜f(x2)，那么()A．x1－x2＞0B．x1＋x2＞0C．x21－x22＞0D．x21－x22＜0【解析】由f(x)＝xsinx得f′(x)＝sinx＋xcosx＝cosx(tanx＋x)，当x∈0，π2时，f′(x)＞0，即f(x)在0，π2上为增函数，又f(－x)＝－xsin(－x)＝xsinx，因而f(x)为偶函数，∴当f(x1)＜f(x2)时有f(|x1|)＜f(|x2|)，∴|x1|＜|x2|，x21－x22＜0，故选D.【答案】D跟踪训练4(2019·安阳调研)已知函数f(x)＝lnx＋12ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围为________．【解析】f′(x)＝1x＋ax－2＝ax2－2x＋1x(x＞0)，函数f(x)存在单调递减区间，即定义域(0，＋∞)内存在区间使ax2－2x＋1≤0，等价于a小于2x－1x2在x∈(0，＋∞)上的最大值，设g(x)＝2x－1x2，则g′(x)＝－2x＋2x3，可知，函数g(x)在区间(0，1)为增函数，在区间(1，＋∞)上为减函数，所以当x＝1时，函数g(x)取得最大值，此时g(x)＝1，所以a＜1，故填(－∞，1)．【答案】(－∞，1)