2020届高考数学总复习 第九章 解析几何 9-1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 文 新人教A

第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l____________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴____________时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．向上方向平行或重合2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝_________．(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1x2－x1.tanα3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式_________________不含直线x＝x0斜截式_____________不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式________________，_______________平面内所有直线都适用y－y0＝k(x－x0)Ax＋By＋C＝0A2＋B2≠0y＝kx＋b【答案】－1135°题组一常识题1．(教材改编)已知直线经过点A(4，－2)，B(1，1)，则直线AB的斜率为________，倾斜角α为________．【解析】易知直线AB的斜率为－2－14－1＝－1，所以k＝tanα＝－1，所以α＝135°，即直线AB的倾斜角α为135°.2．(教材改编)一条直线经过点M(－2，3)，且它的斜率是直线y＝2x的斜率的3倍，则该直线的方程为__________．【解析】由题意知该直线的斜率为6，所以该直线的方程为y－3＝6(x＋2)，即6x－y＋15＝0.【答案】6x－y＋15＝0【答案】x－y＋1＝0或x－y－1＝03．(教材改编)若直线l在两坐标轴上的截距互为负倒数，且绝对值相等，则直线l的方程为______________．【解析】设直线l在两坐标轴上的截距分别为a，b，则ab＝－1，|a|＝|b|，解得a＝－1，b＝1或a＝1，b＝－1，故直线l的方程为x－y＋1＝0或x－y－1＝0.题组二常错题◆索引：忽略直线斜率不存在的情况；对倾斜角的取值范围不清楚；忽略截距为0的情况．4．直线l经过A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为______________．【解析】设直线的倾斜角为α，则有tanα＝1－m22－1＝1－m2≤1.又因为0≤απ，所以0≤α≤π4或π2απ.【答案】0，π4∪π2，π5．已知A(2，2)，B(－1，3)，若直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．【解析】∵A(2，2)，B(－1，3)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，∴边界直线PA的斜率kPA＝2－12－1＝1，边界直线PB的斜率kPB＝3－1－1－1＝－1，∴直线PA的倾斜角为π4，直线PB的倾斜角为3π4.∵直线l与线段AB相交，∴直线l的倾斜角的取值范围为π4，3π4.【答案】π4，3π46．过点(－2，4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是__________________________．【解析】当直线过原点时，斜率为4－0－2－0＝－2，故直线的方程为y＝－2x，即2x＋y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x＋y＋m＝0，把(－2，4)代入直线的方程，得m＝－2，故直线方程为x＋y－2＝0.综上，满足条件的直线方程为2x＋y＝0或x＋y－2＝0.【答案】2x＋y＝0或x＋y－2＝0考点一直线的倾斜角与斜率【例1】(1)直线2xcosα－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的变化范围是()A.π6，π3B.π4，π3C.π4，π2D.π4，2π3(2)已知直线l：x－my＋3m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是()A．[－6，6]B.－∞，－66∪66，＋∞C.－∞，－66∪66，＋∞D．以上都不对【解析】(1)直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈π6，π3，所以12≤cosα≤32，因此k＝2cosα∈[]1，3.设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.(2)设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得yx＋1·yx－1＝3，即y2＝3x2－3.联立x－my＋3m＝0，y2＝3x2－3，得1m2－3x2＋23mx＋6＝0.要使直线l：x－my＋3m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则Δ＝23m2－241m2－3≥0，即m2≥16.所以实数m的取值范围是－∞，－66∪66，＋∞.故选C.【答案】(1)B(2)C【互动探究】若本例(1)中直线变为x＋ycosθ－3＝0(θ∈R)，则直线的倾斜角α的取值范围为__________．【解析】当cosθ＝0时，方程变为x－3＝0，其倾斜角为π2；当cosθ≠0时，由直线l的方程，可得斜率k＝－1cosθ.因为cosθ∈[－1，1]且cosθ≠0，所以k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tanα∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，所以α∈π4，π2∪π2，3π4，综上知，直线l的倾斜角α的取值范围是π4，3π4.【答案】π4，3π4【反思归纳】跟踪训练1若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈π6，π4∪2π3，π，则k的取值范围是__________．【解析】当α∈π6，π4时，k＝tanα∈33，1；当α∈2π3，π时，k＝tanα∈[－3，0)．综上k∈[－3，0)∪33，1.【答案】[－3，0)∪33，1跟踪训练2曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为__________．【解析】记曲线上点P处的切线的倾斜角是θ，因为y′＝3x2－1≥－1，所以tanθ≥－1，所以θ为钝角时，应有θ∈3π4，π；θ为锐角时，tanθ≥－1显然成立．综上，θ的取值范围是0，π2∪3π4，π.【答案】0，π2∪3π4，π考点二求直线方程【例2】(1)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－14的直线的方程为______________．(2)经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为__________．【解析】(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－14×3＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(2)法一：设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(3，2)，∴l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(3，2)，∴3a＋2a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.法二：由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，令y＝0，得x＝3－2k，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－2k＝2－3k，解得k＝－1或k＝23，∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝23(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.【答案】(1)3x＋4y＋15＝0(2)x＋y－5＝0或2x－3y＝0【反思归纳】跟踪训练3过点A(2，1)，其倾斜角是直线l1：3x＋4y＋5＝0的倾斜角的一半的直线l的方程为__________．【解析】设直线l和l1的倾斜角分别为α，β，则α＝β2∈0，π2，又tanβ＝－34，则－34＝2tanα1－tan2α，解得tanα＝3或tanα＝－13(舍去)．由点斜式得y－1＝3(x－2)，即3x－y－5＝0.【答案】3x－y－5＝0跟踪训练4(2019·南阳一模)已知a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点()A.－16，12B.12，16C.12，－16D.16，－12【解析】由已知得a－1＋2b＝0，即12a－12＋b＝0对比直线方程ax＋3y＋b＝0得x＝12，3y＝－12即x＝12y＝－16，选C.【答案】C跟踪训练5过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是()A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0【解析】设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a.①当a＝0时，所求直线经过点(5，2)和(0，0)，所以直线方程为y＝25x，即2x－5y＝0；②当a≠0时，设所求直线方程为xa＋y2a＝1，又直线过点(5，2)，所以5a＋22a＝1，解得a＝6，所以所求直线方程为x6＋y12＝1，即2x＋y－12＝0.综上，所求直线方程为2x－5y＝0和2x＋y－12＝0.【答案】B考点三直线方程的综合应用角度1与基本不等式相结合的最值问题【例3】(2019·沈阳模拟)若直线l：xa＋yb＝1(a0，b0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是__________．【解析】∵直线l：xa＋yb＝1(a0，b0)经过点(1，2)，∴1a＋2b＝1，∴a＋b＝(a＋b)1a＋2b＝3＋ba＋2ab≥3＋22，当且仅当b＝2a时等号成立．∴直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值为3＋22.【答案】3＋22角度2与导数几何意义相结合的问题【例4】(2019·重庆巴蜀中学模拟)已知曲线y＝2xx－1在点P(2，4)处的切线与直线l平行且距离为25，则直线l的方程为()A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0C．2x－y－18＝0D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0【解析】y′＝2（x－1）－2x（x－1）2＝－2（x－1）2，当x＝2时，y′＝－2（2－1）2＝－2，因此kl＝－2，设直线l方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意知|2×2＋4－b|5＝25，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故选B.【答案】B角度3与圆相结合求直线方程问题【例5】过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是________________．【解析】设圆心C到直线l的距离为d，则有cos∠ACB2＝d5，要使∠ACB最小，则d要取到最大值，此时直线l与直线CM垂直．而kCM＝4－23－1＝1，故直线l的方程为y－2＝－1×(x－1)，即x＋y－3＝0.【答案】x＋y－3＝0【反思归纳】跟踪训练6已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为()A．eB．－1eC．－eD.1e【解析】函数y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x.设切点为(x0，lnx0)，则k＝y′|x＝x0＝1x0，所以切线方程为y－lnx0＝1x0(x－x0)，又因为切线过点(0，0)，所以－lnx0＝－1，则x0＝e，所以切线的斜率为1e，故选D.【答案】D跟踪训练7经过圆C：x2＋y2＋2x＝0的圆心，且与直线3x＋y－2＝0垂直的直线方程是____________________