2020届高考数学总复习 第二章 函数的概念与基本初等函数 2-6 对数与对数函数课件 文 新人教A

第6讲对数与对数函数1．对数的概念如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作______________，其中_____叫做对数的底数，_____叫做真数．x＝logaNaN2．对数的性质与运算法则(1)对数的性质①alogaN＝_____；②logaaN＝_____(a0，且a≠1)；③零和负数没有对数．(2)对数的运算法则(a0，且a≠1，M0，N0)NN①
loga(M·N)＝___________________；②logaMN＝___________________；③logaMn＝___________(n∈R)．(3)对数的重要公式①换底公式：________________(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝1logba.logbN＝logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM【必记结论】1．指数式与对数式互化：ax＝N⇔x＝logaN.2．对数运算的一些结论：(1)logambn＝nmlogab.(2)logab·logba＝1.(3)logab·logbc·logcd＝logad.3．对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质a10a1图象定义域____________值域R(0，＋∞)性质过点___________，即x＝_____时，y＝_____当x1时，_______；当0x1时，_______当x1时，_______；当0x1时，______在(0，＋∞)上是_____函数在(0，＋∞)上是_______函数(1，0)01y0y0y0y0增减题组一常识题1．(教材改编)化简logablogbclogca的结果是________．【解析】利用对数的换底公式可得结果为1.【答案】1【解析】根据指数函数性质知a1，b1，且a6＝8，b6＝9，所以ab.又c1，所以cab.【答案】cab2．(教材改编)设a＝212，b＝313，c＝log32，则a，b，c的大小关系是________．3．(教材改编)若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(2)＝________．【解析】函数f(x)＝log2x，所以f(2)＝1.【答案】1【答案】(－∞，2)4.(教材改编)函数y＝log12(x2－4x＋5)的单调递增区间是________．【解析】因为0121，所以y＝log12x单调递减，而函数y＝x2－4x＋50恒成立，且单调递减区间为(－∞，2)，所以函数y＝log12(x2－4x＋5)的单调递增区间是(－∞，2)．题组二常错题◆索引：对数的性质及其运算掌握不到位；记混对数函数的定义域；对数函数的性质不能充分运用；忽略对底数的讨论致误．5．有下列结论：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lgx＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9.其中正确结论的序号是________．【解析】①lg10＝1，则lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0；③底的对数等于1，则x＝10；④底的对数等于1；⑤logmn＝lgnlgm，log3m＝lgmlg3，则lgnlg3＝2，即log3n＝2，故n＝9.【答案】①②③④⑤6．函数f(x)＝log2(2－x)的定义域是________．【解析】由2－x0，解得x2，即函数f(x)的定义域为(－∞，2)．【答案】(－∞，2)【答案】cab7．设a＝14，b＝log985，c＝log83，则a，b，c的大小关系是________．【解析】a＝14＝log949＝log93log83＝c，a＝log93log985＝b，所以cab.8.函数y＝logax(a0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．【解析】分两种情况讨论：(1)当a1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；(2)当0a1时，有loga2－loga4＝1，解得a＝12.所以a＝2或12.【答案】2或12考点一对数的运算【例1】计算下列各式：(1)lg14－2lg73＋lg7－lg18.(2)lg27＋lg8－3lg10lg1.2.(3)(lg5)2＋lg2·lg50.(4)(log32＋log92)·(log43＋log83)．【解析】(1)原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.(2)原式＝lg（33）12＋lg23－3lg1012lg3×2210＝32lg3＋3lg2－32lg10lg3＋2lg2－1＝32（lg3＋2lg2－1）lg3＋2lg2－1＝32.(3)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1.(4)原式＝lg2lg3＋lg2lg9·lg3lg4＋lg3lg8＝lg2lg3＋lg22lg3·lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.【反思归纳】考点二对数的图象及应用【例2】(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为()(2)已知函数f(x)＝|lgx|，0＜x≤10，－12x＋6，x＞10，若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是()A．(1，10)B．(5，6)C．(10，12)D．(20，24)【解析】(1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.(2)作出f(x)的大致图象，不妨设a＜b＜c，因为a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函数的图象可知10＜c＜12，且|lga|＝|lgb|，因为a≠b，所以lga＝－lgb，可得ab＝1，所以abc＝c∈(10，12)．【答案】(1)A(2)C【反思归纳】跟踪训练1(2019·福州模拟)函数y＝lg|x－1|的图象是()【解析】因为y＝lg|x－1|＝lg（x－1），x＞1，lg（1－x），x＜1.当x＝1时，函数无意义，故排除B、D.又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．【答案】A跟踪训练2(2019·张家界模拟)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0＜a－1＜b＜1B．0＜b＜a－1＜1C．0＜b－1＜a＜1D．0＜a－1＜b－1＜1【解析】令g(x)＝2x＋b－1，这是一个增函数，而由图象可知函数f(x)＝loga(g(x))是单调递增的，所以必有a＞1.又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1＜f(0)＜0，所以－1＜logab＜0，故a－1＜b＜1，因此0＜a－1＜b＜1.故选A.【答案】A考点三对数函数的性质及应用角度1比较对数值的大小【例3】定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)且x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋15，则f(log220)等于()A．1B.45C．－1D．－45【解析】∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又∵f(x－2)＝f(x＋2)，∴f(x)为周期为4的周期函数．又∵log232＞log220＞log216，∴4＜log220＜5.∴f(log220)＝f(log220－4)＝flog254＝－f－log254＝－flog245.又∵x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋15，∴flog245＝1，故f(log220)＝－1.【答案】C角度2解简单的对数不等式【例4】(2019·西安模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f13＝0，则不等式f(log18x)0的解集为________．【解析】∵f(x)是R上的偶函数，∴它的图象关于y轴对称．∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，由f13＝0，得f－13＝0.∴f(log18x)0⇒log18x－13或log18x13⇒x2或0x12，∴x∈0，12∪(2，＋∞)．【答案】0，12∪(2，＋∞)角度3与对数有关的复合函数问题【例5】已知函数f(x)＝log12(x2－2ax＋3)．(1)若f(－1)＝－3，求f(x)的单调区间．(2)是否存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．【解析】(1)由f(－1)＝－3，得log12(4＋2a)＝－3.所以4＋2a＝8，所以a＝2.这时f(x)＝log12(x2－4x＋3)，由x2－4x＋30，得x3或x1.故函数定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．令u＝x2－4x＋3，对称轴为x＝2，则u在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．又y＝log12u在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．(2)令g(x)＝x2－2ax＋3，要使f(x)在(－∞，2)上为增函数，应使g(x)在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.因为a≥2，g（2）≥0，即a≥2，7－4a≥0，a无解．所以不存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上为增函数【反思归纳】