2020届高考数学总复习 第二章 函数的概念与基本初等函数 2-3 函数的奇偶性与周期性课件 文 新

第3讲函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性(1)奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______________，那么函数f(x)就叫做偶函数关于_______对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于______对称f(－x)＝f(x)原点y轴(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有______________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_________________，那么这个_____________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小的正数最小正数3．函数的对称性常见的结论(1)函数y＝f(x)关于x＝a＋b2对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．特殊：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；函数y＝f(x)关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．(2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b.特殊：函数y＝f(x)关于点(a，0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；函数y＝f(x)关于(0，0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于点(a，0)对称.【解析】f(x)＝x2－1和f(x)＝x2＋cosx为偶函数．【答案】21．(教材改编)函数f(x)＝x2－1，f(x)＝x3，f(x)＝x2＋cosx，f(x)＝1x＋|x|中，偶函数的个数是________．2．(教材改编)若奇函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则它在[－b，－a]上是________函数；若偶函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则它在[－b，－a]上是________函数．【解析】根据奇偶函数图象的对称性可得．【答案】减减3．(教材改编)已知f(x)为奇函数，当x0时，f(x)＝－1，则f(－2)＝________．【解析】f(－2)＝－f(2)＝－(2－1)＝1－2.【答案】1－24．(教材改编)已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当x∈(0，1]时，f(x)＝log4(x2＋3)，则f(2017)＝________．【解析】因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是以3为周期的周期函数，所以f(2017)＝f(672×3＋1)＝f(1)＝log4(12＋3)＝1.【答案】1题组二常错题◆索引：判定奇偶性时，不化简解析式导致出错；找不到周期函数的周期从而求不出结果；性质应用不熟练，找不到解题方法；利用奇偶性求解析式时忽略定义域．5．函数f(x)＝lg（1－x2）|x＋3|－3是________(填“奇”“偶”“非奇非偶”)函数．【解析】由1－x2＞0，|x＋3|－3≠0，得－1＜x＜1且x≠0，∴函数f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)．∴f(x)＝lg（1－x2）|x＋3|－3＝lg（1－x2）x，∴f(－x)＝lg（1－x2）－x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．【答案】奇6．具有性质f1x＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．有下列函数：①f(x)＝x－1x；②f(x)＝x＋1x；③f(x)＝x，0＜x＜1，0，x＝1，－1x，x＞1.其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)【解析】对于①，f1x＝1x－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f1x＝1x＋11x＝f(x)≠－f(x)，不满足题意；对于③，f1x＝1x，0＜1x＜1，0，1x＝1，－x，1x＞1，即f1x＝1x，x＞1，0，x＝1，－x，0＜x＜1，故f1x＝－f(x)，满足题意．【答案】①③【答案】27．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－fx＋32，且f(1)＝2，则f(2017)＝________．【解析】∵f(x)＝－fx＋32，∴f(x＋3)＝－fx＋32＋32＝－fx＋32＝f(x)，∴f(2017)＝f(3×672＋1)＝f(1)＝2.8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝x2＋4x－3，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________．【解析】设x＜0，则－x＞0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋4(－x)－3]＝－x2＋4x＋3，由奇函数的定义可知f(0)＝0，所以f(x)＝x2＋4x－3，x＞0，0，x＝0，－x2＋4x＋3，x＜0.【答案】x2＋4x－3，x＞0，0，x＝0，－x2＋4x＋3，x＜0考点一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝3－x2＋x2－3.(2)f(x)＝xlg()x＋x2＋1.(3)f(x)＝－x2＋2x＋1（x＞0），x2＋2x－1（x＜0）.【解析】(1)由3－x2≥0，x2－3≥0，得x2＝3，解得x＝±3，即函数f(x)的定义域为{－3，3}，从而f(x)＝3－x2＋x2－3＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)．∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)∵x2＋1＞|x|≥0，∴函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)lg(－x＋（－x）2＋1)＝－xlg(x2＋1－x)＝xlg(x2＋1＋x)＝f(x)．即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，当x0时，－x0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)．∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．【反思归纳】跟踪训练1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2－1＋1－x2.(2)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.【解析】(1)定义域为{x|x＝±1}，化简得f(x)＝0，故f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)∵－2≤x≤2且x≠0，∴f(x)＝4－x2x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．考点二函数的周期性【例2】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)．【解析】(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)＝f(2020)＝f(0)＝0.【反思归纳】跟踪训练2已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－1f（x），则f(8)的值为()A．－1B．0C．1D．2【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又因为f(x＋2)＝－1f（x），所以其周期为4，故f(8)＝f(2×4＋0)＝f(0)＝0.【答案】B跟踪训练3(2019·深圳质检)若f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝x（1－x），0≤x≤1，cosπx，1x≤2，则ff293＝________．【解析】因为f(x)的周期为4，则f293＝f8＋53＝f53＝cos53π＝cosπ3＝12，所以ff293＝f12＝12×1－12＝14.【答案】14考点三函数性质的综合应用角度1奇偶性的应用【例3】(2019·三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x，则当x＞0时，f(x)＝()A．－2xB．2－xC．－2－xD．2x【解析】x＞0时，－x＜0，∵x＜0时，f(x)＝2x，∴当x＞0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.故选C.【答案】C角度2单调性与奇偶性结合【例4】(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．b＜c＜a(2)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2]B．[－1，1]C．[0，4]D．[1，3]【解析】(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，g(x)为偶函数．又∵f(x)在R上递增，∴g(x)在[0，＋∞)上递增．∴g(－log25.1)＝g(log25.1)．而20.8＜2＜log25.1＜3，∴g(20.8)＜g(log25.1)＜g(3)，∴b＜a＜c.(2)∵奇函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故选D.【答案】(1)C(2)D角度3周期性与奇偶性结合【例5】(2019·赣州模拟)设函数f(x)(x∈R)为偶函数，且∀x∈R，fx－32＝fx＋12，当x∈[2，3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2，0]时，f(x)＝()A．|x＋4|B．|2－x|C．2＋|x＋1|D．3－|x＋1|【解析】因为fx－32＝fx＋12，所以f(x)＝f(x＋2)，得f(x)的周期为2，因为当x∈[2，3]时，f(x)＝x，所以当x∈[0，1]时，x＋2∈[2，3]，f(x)＝f(x＋2)＝x＋2，又f(x)为偶函数，所以当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，f(x)＝f(－x)＝－x＋2，当x∈[－2，－1)时，x＋2∈[0，1)，f(x)＝f(x＋2)＝x＋4，所以当x∈[－2，0]时，f(x)＝3－|x＋1|.【答案】D角度4单调性、奇偶性与周期性结合【例6】已知函数f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：①
对任意的x1，x2∈[4，8]，当x1＜x2时，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＞0；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数．若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2017)，则a，b，c的大小关系正确的是()A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．c＜b＜a【解析】由①得f(x)在[4，8]上单调递增；由②得f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是周期为8的周期函数，所以c＝f(2017)＝f(252×8＋1)＝f(1)，b＝f(11)＝f(3)；由③得f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7)．结合f(x)在[4，8]上单调递增可知，f(5)＜f(6)＜f(7)，即b＜a＜c.故选B.【答案】B【反思归纳】