2020届高考数学总复习 第二章 函数的概念与基本初等函数 2-1 函数及其表示课件 文 新人教A版

第1讲函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个____________设A，B是两个__________________非空的数集非空的集合f对应关系：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_______一个数x，在集合B中都有_____________的数f(x)和它对应如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_______一个元素x，在集合B中都有___________的元素y与之对应名称称____________为从集合A到集合B的一个函数称___________为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B任意唯一确定任意唯一确定f：A→Bf：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的___________；函数值的集合___________叫做函数的值域．(2)函数的三要素：________、_________和_______．(3)相等函数：如果两个函数的___________相同，并且____________完全一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有_______、______和_________．定义域{f(x)|x∈A}定义域对应关系值域对应关系定义域解析法图象法列表法3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因______________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_______，其值域等于各段函数的值域的_________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．对应关系并集并集【知识拓展】1.函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．2．分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论．1．(教材改编)以下属于函数的有__________．(填序号)①y＝±x；②y2＝x－1；③y＝x－2＋1－x；④y＝x2－2(x∈N)．【解析】①②对于定义域内任给的一个数x，可能有两个不同的y值，不满足对应的唯一性，故①②错；③的定义域是空集，而函数的定义域是非空的数集，故③错；只有④表示函数．【答案】④【答案】－12．(教材改编)已知函数f(x)＝lnx－2，x＞0，x＋a，x≤0，若f[f(e)]＝2a，则实数a＝________．【解析】因为f(e)＝lne－2＝－1，所以f[f(e)]＝f(－1)＝－1＋a＝2a，解得a＝－1.【答案】(－∞，－3)∪(－3，8]3．(教材改编)函数f(x)＝8－xx＋3的定义域是__________．【解析】要使函数有意义，则8－x≥0且x＋3≠0，即x≤8且x≠－3，所以其定义域是(－∞，－3)∪(－3，8]．4．(教材改编)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{a，b，c}，f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有________种．【解析】值域C可能为：只含有一个元素时有{a}，{b}，{c}；有两个元素时，有{a，b}，{a，c}，{b，c}；有三个元素时有{a，b，c}．所以共有7种．【答案】7题组二常错题◆索引：对函数概念理解不透彻；对分段函数解不等式时忘记范围；换元法求解析式，反解忽视范围；对函数值域理解不透彻．5．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)①f：x→y＝12x；②f：x→y＝13x；③f：x→y＝23x；④f：x→y＝x.【解析】对于③，因为当x＝4时，y＝23×4＝83∉Q，所以③不是函数．【答案】③6．设函数f(x)＝（x＋1）2，x＜1，4－x－1，x≥1，则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为____________．【答案】(－∞，－2]∪[0，10]【解析】∵f(x)是分段函数，∴f(x)≥1应分段求解．当x1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x1.当x≥1时，f(x)≥1⇒4－x－1≥1，即x－1≤3，∴1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0，10]．【答案】x2－1(x≥0)7．已知f(x)＝x－1，则f(x)＝__________．【解析】令t＝x，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．8．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个．【解析】设函数y＝x2的定义域为D，其值域为{1，4}，D的所有可能的个数，即是同族函数的个数，D的所有可能为{－1，2}，{－1，－2}，{1，2}，{1，－2}，{－1，1，2}，{－1，1，－2}，{－1，2，－2}，{1，2，－2}，{－1，1，2，－2}，共9个，故答案为9.【答案】9考点一函数的概念【例1】有以下判断：①f(x)＝|x|x与g(x)＝1（x≥0）－1（x＜0）表示同一函数；②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；④若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff12＝0.其中正确判断的序号是__________．【解析】对于①，由于函数f(x)＝|x|x的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝1（x≥0），－1（x＜0）的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f12＝12－1－12＝0，所以ff12＝f(0)＝1.综上可知，正确的判断是②③.【答案】②③【反思归纳】【解析】由y＝10lgx的定义域，值域均为(0，＋∞)，与D符合．故选D.【答案】D跟踪训练1下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是()A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y＝1x跟踪训练2下列各组函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝|x|，g(x)＝x2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2C．f(x)＝x2－1x－1，g(x)＝x＋1D．f(x)＝x＋1·x－1，g(x)＝x2－1【解析】A中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)．B中，f(x)＝|x|，g(x)＝x(x≥0)，∴两函数的定义域不同．C中，f(x)＝x＋1(x≠1)，g(x)＝x＋1，∴两函数的定义域不同．D中，f(x)＝x＋1·x－1(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定义域为{x|x≥1}；g(x)＝x2－1(x2－1≥0)，g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}．∴两函数的定义域不同．故选A.【答案】A考点二函数的定义域角度1给定函数的定义域问题【例2】(2019·濮阳检测)函数y＝9－x2log2（x＋1）的定义域是()A．(－1，3)B．(－1，3]C．(－1，0)∪(0，3)D．(－1，0)∪(0，3]【解析】由题意得9－x2≥0，x＋1＞0，x＋1≠1⇒－1＜x≤3且x≠0，选D.【答案】D角度2抽象函数的定义域问题【例3】已知函数f(x)的定义域是[0，1]，则函数f(lgx)的定义域是________．【解析】令t＝lgx，则f(t)＝f(lgx)．根据题意得0≤t≤1，所以0≤lgx≤1，解得1≤x≤10，即f(lgx)的定义域是[1，10]．【答案】[1，10]【反思归纳】跟踪训练3(1)函数f(x)＝3x21－x＋lg(3x＋1)的定义域是()A.－13，1B.－13，＋∞C.－13，13D.－∞，－13(2)已知函数f(2x)的定义域为[－1，1]，则f(x)的定义域为________．【解析】(1)由题意可知1－x＞0，3x＋1＞0，解得x＜1，x＞－13，∴－13＜x＜1，故选A.(2)∵f(2x)的定义域为[－1，1]，∴12≤2x≤2，即f(x)的定义域为12，2.【答案】(1)A(2)12，2考点三函数的解析式【例4】(1)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝________．(2)已知fx＋1x＝x2＋1x2，则f(x)＝________．【解析】(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1.所以2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，解得a＝b＝12.所以f(x)＝12x2＋12x，x∈R.(2)由于fx＋1x＝x2＋1x2＝x＋1x2－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.【答案】(1)12x2＋12x，x∈R(2)x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)【互动探究】1．若将本例(2)的条件改为f2x＋1＝lgx，如何求解？【解析】令2x＋1＝t得x＝2t－1，代入得f(t)＝lg2t－1，又x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg2x－1，x1.2．若将本例(2)的条件改为“f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f1x·x－1”，如何求解？【解析】在f(x)＝2f1xx－1中，用1x代替x，得f1x＝2f(x)1x－1，将f1x＝2f（x）x－1代入f(x)＝2f1xx－1中，可求得f(x)＝23x＋13.即函数f(x)的解析式为f(x)＝2x3＋13，x∈(0，＋∞)．【反思归纳】考点四分段函数角度1分段函数求值问题【例5】(2019·温州十校联考)设函数f(x)＝3x－1，x1，2x，x≥1，则ff23＝________；若f[f(a)]＝1，则a的值为________．【解析】由题意，得ff23＝f(1)＝2；因为f[f(a)]＝1，所以f(a)＝23，则f（a）＝23，a1，解得a＝59.【答案】259角度2分段函数与方程的交汇问题【例6】设函数f(x)＝3x－b，x1，2x，x≥1.若ff56＝4，则b＝()A．1B.78C.34D.12【解析】∵f56＝3×56－b＝52－b，∴ff56＝f52－b.当52－b1时，即b32时，f52－b＝3×52－b－b＝4，∴b＝78(舍去)．当52－b≥1时，即b≤32时，f52－b＝252－b＝4，即52－b＝2，∴b＝12.选D.【答案】D角度3分段函数与不等式的交汇问题【例7】(2019·青岛调研)已知函数f(x)＝log3（x＋1），x＞03－x，x≤0，f(m)＞1，则m的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(2，＋∞)