2020届高考数学总复习 第八章 立体几何 8-1 空间几何体的三视图和直观图、表面积与体积课件 文

第1讲空间几何体的三视图和直观图、表面积与体积1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形结构特征①有两个面互相，其余各个面都是___________；②每相邻两个四边形的公共边都互相_______有一个面是________，其余各面是有一个公共顶点的______的多面体用一个平行于锥底面的平面截棱锥，____和______之间的部分侧棱_____________相交于______，但不一定相等延长线交于______侧面形状_______________________________平行四边形平行多边形三角形截面底面平行且相等平行四边形一点一点三角形梯形平行且全等2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球圆形母线且相等，_______于底面相交于______延长线交于______轴截面全等的________全等的_____________全等的________________侧面展开图___________________垂直一点一点圆等腰梯形扇环扇形等腰三角形矩形矩形3.三视图与直观图三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为________________．z′轴与x′轴和y′轴所在平面_______.(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍_______________，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段在直观图中长度为_____________.45°或135°垂直平行于坐标轴不变原来的一半4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝_____S圆锥侧＝_____S圆台侧＝__________2πrlπrlπ(r＋r′)l5.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝_________S底·h题组一常识题1．(教材改编)一个几何体由5个面围成，其中两个面是互相平行且全等的三角形，其他面都是全等的矩形，则该几何体是____________；一个等腰直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周形成的封闭曲面所围成的几何体是__________________．【解析】根据多面体和旋转体的概念知，第一个几何体是正三棱柱，第二个几何体是两个同底等高的圆锥．【答案】正三棱柱两个同底等高的圆锥2．(教材改编)如图所示，图①②③是图④表示的几何体的三视图，若图①是正视图，则图②是____________，图③是____________．【解析】根据三视图的特征知，图②是侧视图，图③是俯视图．【答案】侧视图俯视图3．(教材改编)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为______________．【解析】如图所示，(a)(b)分别是实际图形和直观图．由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图(b)中作C′D′⊥A′B′，垂足为D′，则C′D′＝22O′C′＝68a，∴S△A′B′C′＝12A′B′×C′D′＝12×a×68a＝616a2.【答案】616a24．(教材改编)如图所示是一个几何体的三视图，正视图是长为2，宽为1的矩形，俯视图是正方形，侧视图是半圆，则这个几何体的表面积是__________，体积是________．【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱，其表面积S＝π·12＋22＋π·1×2＝3π＋4，体积V＝12π×12×2＝π.【答案】3π＋4π题组二常错题◆索引：不清楚三视图的三个视图之间的长度关系致错；几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准确致误；对几何体与其外接球的结构不清楚致误．5．给出下列说法：①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；②四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确说法的序号是____________．【解析】①如图(1)中的几何体，满足有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形，但这个多面体不是棱柱；②如图(2)中的四棱锥，其底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，可证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；③当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图(3)所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．【答案】②6．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是______________．【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示．该几何体的表面积S＝S△PAC＋2S△PAB＋S△ABC＝12×2×1＋2×34×(2)2＋12×2×1＝2＋3.【答案】2＋37．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是______________．【解析】由三视图可知，该几何体的上面是一个长为4、宽为2、高为2的长方体，下面是一个放倒的高为4的四棱柱，四棱柱的底面是上、下底分别为2，6，高为2的梯形，所以长方体的体积为4×2×2＝16，四棱柱的体积为4×2＋62×2＝32，所以该几何体的体积为32＋16＝48.【答案】488．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是__________．【解析】由三视图可知，该几何体是底面为等腰直角三角形，高为4的三棱柱，则外接球的半径R＝22＋22＝22，故该几何体的外接球的表面积S＝4π×(22)2＝32π【答案】32π考点一空间几何体的三视图与直观图【例1】(1)(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()(2)如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()A．2＋2B．1＋2C．4＋22D．8＋42【解析】(1)由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.故选A.(2)由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示，∴这个平面图形的面积为4×（2＋2＋22）2＝8＋42，故选D.【答案】(1)A(2)D【反思归纳】跟踪训练1如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【解析】由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．【答案】B跟踪训练2(2019·济南模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是()A.①②B.①④C.②③D.②④【解析】P点在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以△PAC在上底面或下底面的投影为①，在前面、后面以及左面，右面的投影为④，故选B.【答案】B考点二空间几何体的表面积与体积角度1求简单几何体的表面积与体积【例2】(2019·合肥模拟)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥DA1BC的体积是__________．【解析】由题可得VD­A1BC＝VA1­BCD＝13·SBCD·AD＝13×2×2×12×3＝233.【答案】233角度2以三视图为背景的表面积与体积【例3】(2017·全国Ⅱ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90πB．63πC．42πD．36π【解析】(补形法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.【答案】B【例4】(2019·兰州模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为()A．5000立方尺B．5500立方尺C．6000立方尺D．6500立方尺【解析】(分割法)该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥FGBCH与三棱柱ADEGHF的体积之和．又可以将三棱柱ADE­GHF割补成高为EF，底面积为S＝12×3×1＝32平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V＝32×2＋13×2×3×1＝5立方丈＝5000立方尺．故选A.【答案】A【反思归纳】跟踪训练3(2019·四省名校大联考三联)某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为144cm2，则d＝()A.14cmB．13cmC.12cmD.11cm【解析】根据已知的三视图，作出直观图如下：由已知有AB⊥平面BCD，且∠CBD＝90°，且AB＝8，BD＝9，BC＝d，由三棱锥的体积计算公式V＝13Sh＝13×12×9×d×8＝144，求出d＝12cm，故选C.【答案】C跟踪训练4如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A­B1DC1的体积为()A．3B.32C．1D.32【解析】如题图，在正△ABC中，D为BC中点，则有AD＝32AB＝3，又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A­B1DC1的底面B1DC1上的高，∴VA­B1DC1＝13S△B1DC1·AD＝13×12×2×3×3＝1.故选C.【答案】C跟踪训练5(2019·天津十二校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______________．【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体组成，其中，圆锥的底面半径为1，高为2，体积为12×13×π×12×2＝π3；球半径为1，体积为14×43π×12＝π3，所以，该几何体的体积为π3＋π3＝2π3.【答案】2π3考点三空间几何体与球的切、接问题角度1四面体的外接球【例5】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为__________．【解析】设球O的半径为R，∵SC为球O的直径，∴点O为SC的中点，连接AO，OB，∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，∴AO⊥平面SCB，＝13×12×SC×OB×AO，即9＝13×12×2R×R×R，解得R＝3，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.【答案】36π角度2柱体的外接球【例6】已知三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为__________．【解析】设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝3，又易得AM＝2，由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，所以该三棱柱的体积为34×(6)2×2＝33.【答案】33角度3圆锥的内切球与外接球【例7】若圆锥的内切球与外接