2020届高考数学一轮总复习 第四单元 三角函数与解三角形 第30讲 正弦定理、余弦定理的综合应用课

高考总复习第（1）轮理科数学第四单元三角函数与解三角形第30讲正弦定理、余弦定理的综合应用1．进一步掌握正弦定理、余弦定理的应用．2．能利用正弦定理、余弦定理解决有关实际应用问题．3．能利用正弦定理、余弦定理解决与面积有关、三角恒等变换相关的三角形问题．1．解三角形在实际问题中的应用三角形的实际应用题实质还是求解三角形，应掌握实际问题的常用角：方向角、方位角、仰角、俯角等概念，并掌握求解实际问题的一般步骤和方法．(1)有关角的概念①方向角：指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成：正北或正南，北偏东30°，北偏西30°，南偏东30°，南偏西30°等．②方位角：指从正北方向____________旋转到目标方向线的夹角．按顺时针③俯角、仰角：指视线与水平线所成的角，视线在水平线上方的角叫作仰角，视线在水平线下方的角叫作俯角．如图中OD、OE是视线，∠DOC是______角，∠EOC是______角．(2)用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤①审题：理解题意，分清已知和未知，画出示意图．②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与未知量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．仰俯2．三角形条件下有关最值的解决策略首先建立目标函数(可以一元，也可能是二元)，然后根据目标函数的特点选择适当的方法求出最值．1．若点A在点B的北偏西30°，则B在点A的()A．西偏北30°B．西偏北60°C．南偏东30°D．东偏南30°解：如图，可知B在A的南偏东30°.答案：C2．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为()A.4003mB.20033mC.40033mD.2003m解：画出示意图，如下图，在△ABC中，200BC＝sin60°，所以BC＝4003，在△BCD中，BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，即BCsin120°＝CDsin30°，所以CD＝4003(m)．答案：A3．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解：(方法1：转化为边的关系进行判断)由正弦定理及余弦定理得：2a·a2＋c2－b22ac＝c，所以a2＋c2－b2＝c2，所以a＝b，故△ABC是等腰三角形．(方法2：利用角的关系进行判断)2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，所以sinAcosB－cosAsinB＝0，所以sin(A－B)＝0，因为－πA－Bπ，所以A－B＝0，即A＝B，所以△ABC为等腰三角形．答案：B4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积为()A．3B.932C.332D．33解：c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a－b)2＋6＝a2＋b2－2ab＋6，所以－2abcosπ3＝－2ab＋6，所以ab＝6.所以S＝12absinC＝12×6×32＝332.答案：C5．在Rt△ABC中，C＝90°，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是.解：x＝a＋bc＝sinA＋sinBsinC＝sinA＋cosA＝2sin(A＋π4)，又A∈(0，π2)，所以π4sin(A＋π4)≤sinπ2，即x∈(1，2]．答案：(1，2]解三角形在实际问题中的应用三角形条件下的最值问题解三角形的综合应用考点1·解三角形在实际问题中的应用【例1】如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.解：在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100m，所以AC＝1002m．在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°.由正弦定理得，ACsin45°＝AMsin60°，所以AM＝1003m.在Rt△MNA中，AM＝1003m，∠MAN＝60°，由MNAM＝sin60°得MN＝1003×32＝150m.答案：150【变式探究】1．(经典真题)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.解：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得600sin45°＝BCsin30°，解得BC＝3002m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×33＝1006m.点评：(1)解决实际应用问题的过程都要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．(2)转化为解三角形模型后，通常会遇到如下两种情况：①已知量与未知量全部集中在某一个三角形中，此时直接利用正弦定理或余弦定理；②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择满足条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余三角形中求出问题的解．考点2·三角形条件下的最值问题【例2】(2016·北京卷)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac.(1)求∠B的大小；(2)求2cosA＋cosC的最大值．解：(1)由余弦定理及题设得，cosB＝a2＋c2－b22ac＝2ac2ac＝22.又因为0＜∠B＜π，所以∠B＝π4.(2)由(1)知∠A＋∠C＝3π4.2cosA＋cosC＝2cosA＋cos(3π4－A)＝2cosA－22cosA＋22sinA＝22cosA＋22sinA＝cos(A－π4)．因为0＜∠A＜3π4，所以当∠A＝π4时，2cosA＋cosC取得最大值1.【变式探究】2.(2018·广州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2，acosB＝(2c－b)cosA.(1)求角A的大小；(2)求△ABC周长的最大值．解：(1)(方法1)由已知，得acosB＋bcosA＝2ccosA.由正弦定理，得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，即sin(A＋B)＝2sinCcosA.因为sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，所以sinC＝2sinCcosA.因为sinC≠0，所以cosA＝12.因为0Aπ，所以A＝π3.解：(方法2)由已知根据余弦定理，得a×a2＋c2－b22ac＝(2c－b)×b2＋c2－a22bc.即b2＋c2－a2＝bc.所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0Aπ，所以A＝π3.解：(2)(方法1)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA,得bc＋4＝b2＋c2，即(b＋c)2＝3bc＋4.因为bc≤(b＋c2)2，所以(b＋c)2≤34(b＋c)2＋4.即b＋c≤4(当且仅当b＝c＝2时等号成立)．所以a＋b＋c≤6.故△ABC周长a＋b＋c的最大值为6.解：(方法2)因为asinA＝bsinB＝csinC＝2R，且a＝2，A＝π3，所以b＝433sinB，c＝433sinC.所以a＋b＋c＝2＋433(sinB＋sinC)＝2＋433[sinB＋sin(2π3－B)]＝2＋4sin(B＋π6)．因为0B2π3，所以当B＝π3时，a＋b＋c取得最大值6.故△ABC周长a＋b＋c的最大值为6.点评：(1)三角形条件下的最值问题处理的一般思路是：①建立目标函数；②根据目标函数的特点求最值．(2)基本方法：①化为只含一角、一函数的形式，利用三角函数的值域求最值；②化为含三角形一边或两边的表达形式，利用基本不等式求最值．考点3·解三角形的综合应用【例3】(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解：(1)由已知可得tanA＝－3，所以A＝2π3.在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos2π3，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD·sinπ612AC·AD＝1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为3.【变式探究】3．(2017·湖南五市十校联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若AD为BC边上的中线，cosB＝17，AD＝1292，求△ABC的面积．解：(1)已知acosC＋3asinC－b－c＝0，由正弦定理，得sinAcosC＋3sinAsinC＝sinB＋sinC，即sinAcosC＋3sinAsinC＝sin(A＋C)＋sinC，又sinC≠0，所以化简得3sinA－cosA＝1，所以sin(A－30°)＝12，在△ABC中，0°A180°，所以A－30°＝30°，得A＝60°.(2)在△ABC中，因为cosB＝17，所以sinB＝437.所以sinC＝sin(A＋B)＝32×17＋12×437＝5314.由正弦定理，得ac＝sinAsinC＝75，设a＝7x，c＝5x(x0)，则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB，即1294＝25x2＋14×49x2－2×5x×12×7x×17，解得x＝1.所以a＝7，c＝5.所以S△ABC＝12acsinB＝103.点评：(1)与三角形面积有关的问题主要有两种：一是求三角形面积或其最值；二是给出三角形面积，求其他量．(2)求解与三角形面积有关的问题，主要应用三角形面积公式S＝12absinC，此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数有关，由此可与正弦定理、余弦定理结合起来求解．1．解三角形应用题的基本思路是：(1)准确理解题意，分清已知与所求，并准确理解题中的有关名称、术语(如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角、方向角等)，必要时，画出示意图，化实际问题为数学问题；(2)根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在一个或几个三角形中，建立一个解三角形的数学模型；(3)利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求解数学模型的解；(4)检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得到实际问题的解，并进行作答．2．求与三角形中边与角的有关量的取值范围、最值等问题，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域、最值求解即可．3．求解有关三角形问题时，除了要掌握正、余弦定理并能熟练运用它们解题外，还应掌握：(1)三角形内角和定理A＋B＋C＝π，大边对大角等；(2)sin(A＋B)＝sinC，sinA＋B2＝cosC2等；(3)三角形面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12casinB.