2020届高考数学一轮总复习 第四单元 三角函数与解三角形 第27讲 三角函数的图象与性质（二）课件

高考总复习第（1）轮理科数学第四单元三角函数与解三角形第27讲三角函数的图象与性质(二)1．进一步熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性及其最值．2．会判断简单函数的奇偶性，会求简单函数的单调区间及其周期．基本初等三角函数的图象与性质(以下k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数对称轴x＝kπ＋π2x＝kπ对称中心(kπ，0)(kπ＋π2，0)(kπ2，0)递增区间[2kπ－π2，2kπ＋π2][2kπ－π，2kπ](kπ－π2，kπ＋π2)递减区间[2kπ＋π2，2kπ＋3π2][2kπ，2kπ＋π]1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．1．函数f(x)＝sin(2x－π6)的最小正周期是()A.π2B．πC．2πD．4π解：T＝2π2＝π.答案：B2．若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的一个值为()A．φ＝0B．φ＝π4C．φ＝π2D．φ＝π解：因为y＝sin(x＋π2)＝cosx，而y＝cosx是R上的偶函数，所以φ＝π2.答案：C3．已知函数f(x)＝sin(x－π2)(x∈R)，下面结论错误．．的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间[0，π2]上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数解：由于f(x)＝sin(x－π2)＝－cosx，所以函数f(x)的最小正周期为2π，函数f(x)在区间[0，π2]上是增函数，函数f(x)的图象关于直线x＝0对称，函数f(x)是偶函数．答案：D4．同时具有：①最小正周期为π；②图象关于点(π6，0)对称的一个函数是()A．y＝cos(2x－π6)B．y＝sin(2x＋π6)C．y＝sin(x2＋π6)D．y＝tan(x＋π3)解：由T＝π，排除C；把x＝π6代入A、B，函数值均不为零，排除A、B；再验证D符合题意．答案：D5．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是()A．y＝sin(2x＋π2)B．y＝cos(2x＋π2)C．y＝sin(x＋π2)D．y＝cos(x＋π2)解：因为函数的周期为π，所以排除C、D.因为函数在[π4，π2]上是减函数，所以排除B，故选A.答案：A三角函数的周期性三角函数的单调性三角函数性质的综合应用考点1·三角函数的周期性【例1】(2016·山东卷)函数f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)的最小正周期是()A.π2B．πC.3π2D．2π解：先通过三角恒等变换化简f(x)，再求周期．(方法1)因为f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)＝4(32sinx＋12cosx)(32cosx－12sinx)＝4sin(x＋π6)cos(x＋π6)＝2sin(2x＋π3)，所以T＝2π2＝π.(方法2)因为f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)＝3sinxcosx＋3cos2x－3sin2x－sinxcosx＝sin2x＋3cos2x＝2sin(2x＋π3)，所以T＝2π2＝π.故选B.答案：B【变式探究】1．(2018·全国卷Ⅰ·文)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解：因为f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos2x－1－cos2x2＋2＝32cos2x＋52，所以f(x)的最小正周期为π，最大值为4.点评：(1)涉及三角函数的性质问题，首先应考虑利用三角恒等变换将函数化为一个角的一种函数形式．(2)掌握一些简单函数的周期：如：①y＝Asin(ωx＋φ)的周期为2π|ω|；②y＝Atan(ωx＋φ)的周期为π|ω|；③y＝|sinx|的周期为π；④y＝|tanx|的周期为π.考点2·三角函数的单调性【例2】(经典真题)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为A．(kπ－14，kπ＋34)，k∈ZB．(2kπ－14，2kπ＋34)，k∈ZC．(k－14，k＋34)，k∈ZD．(2k－14，2k＋34)，k∈Z解：(方法1：基本方法)由五点法作图知，14ω＋φ＝π2，54ω＋φ＝3π2，解得ω＝π，φ＝π4.所以f(x)＝cos(πx＋π4)，令2kππx＋π42kπ＋π，k∈Z，解得2k－14x2k＋34，k∈Z.故f(x)的单调递减区间为(2k－14，2k＋34)，k∈Z.(方法2：一般方法)由方法1知：f(x)＝cos(πx＋π4)，f′(x)＝－πsin(πx＋π4)，令f′(x)0得，sin(πx＋π4)0，所以2kππx＋π42kπ＋π，k∈Z.解得2k－14x2k＋34，k∈Z.故单调递减区间为(2k－14，2k＋34)，k∈Z.(方法3：优解，充分利用选择支提供的信息)由选择支可知，(－14，34)是f(x)的一个单调递减区间，又T2＝54－14＝1，所以T＝2.故f(x)的单调递减区间为(2k－14，2k＋34)，k∈Z.(方法4：数形结合，充分利用图象提供的信息)由图象可知T＝2(54－14)＝2，当x＝14＋542＝34时，f(x)取得最小值，因为T＝2，所以当x＝34－1＝－14时f(x)取到最大值．于是得到f(x)的一个单调递减区间为(－14，34)，故f(x)的单调递减区间为(2k－14，2k＋34)，k∈Z.答案：D【变式探究】2．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D．π解：(方法1：利用复合函数的单调性)f(x)＝cosx－sinx＝－2(sinx·22－cosx·22)＝－2sin(x－π4)，当x∈[－π4，34π]，即x－π4∈[－π2，π2]时，y＝sin(x－π4)单调递增，y＝－2sin(x－π4)单调递减．因为函数f(x)在[－a，a]是减函数，所以[－a，a]⊆[－π4，34π]，所以0a≤π4，所以a的最大值为π4.解：(方法2：利用复合函数的单调性)f(x)＝2cos(x＋π4)，所以[－a，a]⊆[－π4，34π]，所以0a≤π4，所以a的最大值为π4.解：(方法3：换元，化归为基本函数的单调性)f(x)＝2cost，因为x∈[－a，a]，所以t＝x＋π4∈[π4－a，π4＋a]，因为y＝cost在[0，π]上单调递减，所以π4－a≥0，π4＋a≤π，所以0a≤π4，所以a的最大值为π4.解：(方法4：利用导数研究单调性)f′(x)＝－sinx－cosx≤0，得2sin(x＋π4)≥0，所以2kπ≤x＋π4≤2kπ＋π，k∈Z，又f(x)在[－a，a]单调递减，所以[－a，a]⊆[－π4＋2kπ，3π4＋2kπ]，k∈Z，易知k＝0，所以a取最大值π4.点评：(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但若ω＜0，则应利用诱导公式将x的系数化为正数再处理．(2)求函数的单调区间应遵循先化简的原则，并注意复合函数单调性规律“同增异减”及导数方法的应用.考点3·三角函数性质的综合应用【例3】(2018·汕头模拟)将偶函数f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0＜θ＜π)的图象向右平移θ个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)在[－π4，π6]上的最小值是()A．－2B．－1C．－3D．－12解：f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin(2x＋θ＋π6)，因为f(x)是偶函数，所以θ＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，则θ＝kπ＋π3，k∈Z，因为0＜θ＜π，所以θ＝π3，则f(x)＝2sin(2x＋π3＋π6)＝2cos2x，将f(x)的图象向右平移θ个单位得到函数g(x)的图象，即g(x)＝2cos2(x－π3)＝2cos(2x－2π3)，因为－π4≤x≤π6，－π2≤2x≤π3，所以－7π6≤2x－2π3≤－π3，所以当2x－2π3＝－π时，g(x)取得最小值－2.答案：A【变式探究】3．已知f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0φπ，ω0)为偶函数，且函数y＝f(x)的图象的两条相邻的对称轴的距离为π2.将函数y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的单调递减区间为____________________.解：f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2[32sin(ωx＋φ)－12cos(ωx＋φ)]＝2sin(ωx＋φ－π6)．因为f(x)为偶函数，所以φ－π6＝kπ＋π2，k∈Z，所以φ＝kπ＋π6＋π2，k∈Z.又因为0φπ，所以φ＝π6＋π2.所以f(x)＝2sin(ωx＋π2)＝2cosωx.由题意得T＝2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f(x)＝2cos2x.所以g(x)＝f(x－π6)＝2cos[2(x－π6)]＝2cos(2x－π3)．当2kπ≤2x－π3≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k∈Z)时，g(x)单调递减，故g(x)的单调递减区间为[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)．点评：(1)三角函数的周期性、奇偶性(或对称性)和单调性常常进行综合考查，要注意综合运用知识的能力的培养．(2)对函数的奇偶性，要注意掌握如下结论：①函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数⇔φ＝kπ，k∈Z.函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数⇔φ＝kπ＋π2，k∈Z.②函数y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数⇔φ＝kπ，k∈Z.函数y＝Acos(ωx＋φ)为奇函数⇔φ＝kπ＋π2，k∈Z.(3)对称与周期的关系：正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．1．三角变换是讨论三角函数性质的工具，无论是研究函数的周期性、奇偶性还是单调性，都要注意利用三角恒等变换的知识，将其化为y＝Asin(ωx＋φ)＋C或y＝Acos(ωx＋φ)＋C或y＝Atan(ωx＋φ)＋C的形式再研究其性质．2．求函数的单调性区间时，要注意复合函数单调性的规律及将“ωx＋φ”看作一个整体的“整体思想”的运用．但要注意：判断y＝－Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需求y＝Asin(ωx＋φ)的相反区间即可，对于形如y＝2sin(π3－2x)的单调区间，常因没有注意到x的系数为负而出错，需要引起重视．3．研究函数的奇偶性时，要注意如下结论的运用：①函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数⇔φ＝kπ，k∈Z.函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数⇔φ＝kπ＋π2，k∈Z.②函数y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数⇔φ＝kπ，k∈Z.函数y＝Acos(ωx＋φ)为奇函数⇔φ＝kπ＋π2，k∈Z.4．研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题．