2020届高考数学一轮总复习 第十一单元 选考内容 第85讲 不等式的证明课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第十一单元选考内容第85讲不等式的证明1．掌握证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．2．能运用适当的方法证明某些不等关系．1．基本不等式(1)基本不等式：如果a，b0，则a＋b2ab，当且仅当时，等号成立．(2)算术平均——几何平均定理(基本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即a1＋a2＋…＋ann≥na1·a2·…·an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．≥a＝b2．证明不等式的基本方法证明不等式的基本方法有：比较法、综合法、分析法、反证法等，此外还有放缩法、换元法、数学归纳法等常用方法．(1)比较法①要证明a＞b，只要证明，要证明a＜b，只要证明，这种证明不等式的方法叫作比较法．②基本步骤：作差→→→作出结论．a－b＞0a－b＜0变形判断符号(2)综合法①利用某些和推导出所要证明的不等式成立．这种证明不等式的方法，叫作综合法，它是一种的方法．②再证明不等式的过程中，以下重要不等式常作为依据：|a|≥0，a2≥0，(a－b)2≥0(a，b∈R)；a2＋b2≥2ab(a，b∈)；a＋b2≥ab(a，b∈)；a＋b＋c3≥3abc(a，b，c∈)．|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．由因导果R(0，＋∞)(0，＋∞)证明过的不等式不等式的性质(3)分析法从出发，分析使这个不等式成立的，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题．如果能够肯定这些都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫作分析法．分析法是一种的方法．求证的不等式充分条件充分条件执果索因1．求证：x2＋2x2＋1≥2.证明：x2＋2x2＋1＝x2＋1＋1x2＋1≥2x2＋1×1x2＋1＝2.当且仅当x＝0时取等号，所以x2＋2x2＋1≥2.2．证明不等式a2＋b22≥(a＋b2)2.证明：(比较法)因为a2＋b22－(a＋b2)2＝2a2＋2b2－a2＋b2＋2ab4＝a－b24≥0，所以原不等式成立．3．证明不等式：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.证明：(综合法)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，上述三式相加，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.4．设a0，b0，证明：|a－b|≥a－b.证明：(分析法)若a≤b，不等式显然成立，若ab，要证原不等式成立，只需证a－ba＋b－2ab，即证bab，只需证ba，又只需证ba，而此式成立．故原不等式成立．综上，原不等式成立．基本不等式的应用不等式的证明有关综合问题考点1·基本不等式的应用【例1】若a0，b0，且1a＋1b＝ab.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解：(1)由ab＝1a＋1b≥2ab，得ab≥2，当且仅当a＝b＝2时取等号．故a3＋b3≥2a3b3≥42，当且仅当a＝b＝2时取等号．所以a3＋b3的最小值为42.(2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥43.由于436，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.【变式探究】1．已知正实数a，b满足2ab＝a＋b＋12.(1)求ab的最小值；(2)求a＋b的最小值．解：(1)因为2ab＝a＋b＋12，得2ab≥2ab＋12，化简得(ab－3)(ab＋2)≥0，解得ab≥9.当且仅当a＝b，2ab＝a＋b＋12，即a＝b＝3时取等号．所以ab的最小值为9.(2)因为2ab＝a＋b＋12，所以a＋b＋12＝2ab≤2·(a＋b2)2，整理得(a＋b)2－2(a＋b)－24≥0，所以(a＋b－6)(a＋b＋4)≥0，解得a＋b≥6.当且仅当a＝b，2ab＝a＋b＋12，即a＝b＝3时取等号．所以a＋b的最小值为6.点评：基本不等式具有和积转化的功能，要善于根据式子的特点，促成问题的转化．考点2·不等式的证明【例2】(经典真题)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ca≤13；(2)a2b＋b2c＋c2a≥1.证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.所以a2b＋b2c＋c2a≥1.【变式探究】2．(2017·全国卷Ⅱ)已知a0，b0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明：(1)(方法1：比较法)(a＋b)(a5＋b5)－(a3＋b3)2＝a6＋ab5＋ba5＋b6－(a6＋2a3b3＋b6)＝ab(a4－2a2b2＋b4)＝ab(a2－b2)2≥0，所以(a＋b)(a5＋b5)≥4.(方法2：综合法)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)(方法1)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3a＋b24(a＋b)＝2＋3a＋b34，所以(a＋b)3≤8，所以a＋b≤2.(方法2)因为a3＋b3＝2，所以a3＋1＋1＋b3＋1＋1＝6.因为a3＋1＋1≥3a，b3＋1＋1≥3b，所以3a＋3b≤6，从而a＋b≤2.点评：(1)不等式证明的基本方法有：比较法、综合法和分析法．要重视基本方法的掌握．(2)采用综合法时，要合理利用条件，有时对条件要进行适当变形、组合，这是证明不等式的最基本的方法．如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑分析法；如果待证明的命题以“至少”“至多”等方式给出或为否定性命题、唯一性命题，则可考虑反证法．总之，要根据问题特点灵活地选择证明方法．考点3·有关综合问题【例3】已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)4的解集为M.(1)求M；(2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b||4＋ab|.解：(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝－2x，x－1，2，－1≤x≤1，2x，x1.当x－1时，由－2x4，得－2x－1；当－1≤x≤1时，f(x)＝24，所以－1≤x≤1；当x1时，由2x4，得1x2.综上可得－2x2，即M＝(－2,2)．(2)证明：因为a，b∈M，即－2a2，－2b2.所以4(a＋b)2－(4＋ab)2＝4(a2＋2ab＋b2)－(16＋8ab＋a2b2)＝(a2－4)(4－b2)0，所以4(a＋b)2(4＋ab)2，所以2|a＋b||4＋ab|.【变式探究】3．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－12|＋|x＋12|，M为不等式f(x)2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b||1＋ab|.解：(1)f(x)＝－2x，x≤－12，1，－12x12，2x，x≥12.当x≤－12时，由f(x)2得－2x2，解得－1x≤－12；当－12x12时，由f(x)2，解得－12x12；当x≥12时，由f(x)2得2x2，解得12≤x1.所以f(x)2的解集M＝{x|－1x1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1a1，－1b1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)0.因此|a＋b||1＋ab|.点评：本题将含绝对值不等式的解法与证明不等式综合在一起，考查含绝对值不等式的解法和不等式的证明，考查综合运用的能力．1．利用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立．2．不等式证明方法灵活，要掌握比较法、综合法、分析法、反证法等基本方法的特点．要根据具体问题的特点，灵活地选择证明方法．3．在必要的情况下，可能还需要换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．