2020届高考数学一轮总复习 第十一单元 选考内容 第83讲 极坐标方程与参数方程的综合应用课件 理

高考总复习第（1）轮理科数学第十一单元选考内容第83讲极坐标方程与参数方程的综合应用1．进一步掌握极坐标、参数方程的基本知识．2．通过极坐标与参数方程的综合应用，提高综合运用知识的能力．1．(经典真题)已知直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝1＋t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4(ρ＞0，3π4＜θ＜5π4)，则直线l与曲线C的交点的极坐标为.|课前预习|解：由x＝－1＋t，y＝1＋t，得x－y＋2＝0，则ρcosθ－ρsinθ＋2＝0.由ρ2cos2θ＝4得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4.所以ρcosθ＝－2，ρsinθ＝0.又ρ0，3π4θ5π4，所以θ＝π，ρ＝2.所以直线l与曲线C的交点的极坐标为(2，π)．答案:(2，π)2．(经典真题)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为x＝t－1t，y＝t＋1t(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝.答案：25解：由ρ(sinθ－3cosθ)＝0，得ρsinθ＝3ρcosθ，则l的方程为y＝3x.由x＝t－1t，y＝t＋1t，得y2－x2＝4.由y＝3x，y2－x2＝4，)可得x＝22，y＝322或x＝－22，y＝－322，不妨设A(22，322)，则B(－22，－322)，故|AB|＝－22－222＋－322－3222＝25.【例1】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα(α为参数)．M是C1上的动点，P点满足OP→＝2OM→，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.解：(1)设P(x，y)，M(x1，y1)，则由OP→＝2OM→，得(x，y)＝2(x1，y1)，所以x1＝x2，y1＝y2，由于M点在C1上，所以x2＝2cosα，y2＝2＋2sinα.即x＝4cosα，y＝4＋4sinα.从而C2的参数方程为x＝4cosα，y＝4＋4sinα(α为参数)．(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝π3与C1的交点A的极径为ρ1＝4sinπ3，射线θ＝π3与C2的交点B的极径为ρ2＝8sinπ3.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝23.【变式探究】1．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，求l的斜率．解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)(方法1)由直线l的参数方程x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，消去参数得y＝x·tanα.设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.又∣AB∣＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得|－6k|1＋k2＝25－1022，即36k21＋k2＝904，整理得k2＝53，解得k＝±153，即l的斜率为±153.(方法2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos2α－44.由|AB|＝10得cos2α＝38，tanα＝±153.所以l的斜率为153或－153.点评：(1)求曲线参数方程的关键是寻找曲线点任意一点与参数的关系，求曲线的极坐标方程的关键是寻找ρ与θ的关系，其思想方法与在直角坐标系下求方程类似．(2)利用互化可以充分利用各类方程(直角坐标方程、极坐标方程；普通方程与参数方程)的优势，如在直角坐标系下便于处理的问题，可化为直角坐标进行求解，然后再转化为所需要的形式；若在极坐标、参数方程形式下好处理的问题，也可转化为极坐标、参数方程进行求解．【例2】已知曲线C1的参数方程是x＝2cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，π3)．(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．解：(1)由已知可得A(2cosπ3，2sinπ3)，B(2cos(π3＋π2)，2sin(π3＋π2))，C(2cos(π3＋π)，2sin(π3＋π))，D(2cos(π3＋3π2)，2sin(π3＋3π2))，即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．【变式探究】2．(经典真题)在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数，t≠0)，其中0≤απ.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23·cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝0，或x＝32，y＝32.所以C2与C3的交点的直角坐标为(0,0)和(32，32)．(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤απ，因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α)，所以|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4|sin(α－π3)|.当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.点评：求范围与最值问题，常利用参数方程将其转化为函数的最值或范围问题．【例3】(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率．解：(1)曲线C的直角坐标方程为x24＋y216＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－4（2cosα＋sinα）1＋3cos2α，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.【变式探究】3．(2018·深圳一模)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝a＋35t，y＝1＋45t(t为参数)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρcos2θ＋8cosθ－ρ＝0.(1)求直线l和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点P(a，1)，设直线l与曲线C的两个交点为A，B，若|PA|＝3|PB|，求a的值．解：(1)由x＝a＋35t，①y＝1＋45t，②由②得t＝54(y－1)代入①得x－a＝34(y－1)，整理得4x－3y－4a＋3＝0.由ρcos2θ＋8cosθ－ρ＝0，得ρ2cos2θ＋8ρcosθ－ρ2＝0，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得x2＋8x－x2－y2＝0.所以y2＝8x.故l与C的直角坐标分别为4x－3y－4a＋3＝0，y2＝8x.(2)设A，B对应的参数分别为t1，t2，将x＝a＋35t，y＝1＋45t，代入y2＝8x，得(1＋45t)2＝8(a＋35t)，化简得1625t2－165t－8a＋1＝0，Δ＝(－165)2－4×1625(－8a＋1)0，得a－38.t1＋t2＝5，t1t2＝2516(1－8a)．因为|PA|＝3|PB|，所以t1＝3t2或t1＝－3t2，①当t1＝3t2时，t1＋t2＝4t2＝5，t1t2＝3t22＝25（1－8a）16，所以3(t1＋t2)2＝16t1t2，所以3×52＝25(1－8a)，解得a＝－14－38.②当t1＝－3t2时，t1＋t2＝－2t2＝5，t1t2＝－3t22＝2516（1－8a），所以－3(t1＋t2)2＝4t1t2，所以－3×52＝254(1－8a)，解得a＝138－38.综上，所求a的值为138或－14.点评：过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程标准形式为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，运用直线的参数方程时，要注意如下问题：(1)t的几何意义：|t|表示直线上的点P到点P0的距离．(2)若直线上任意两点P1，P2对应的参数为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|；P1P2的中点对应的参数为12(t1＋t2)．点评：(3)对于参数方程形如x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)的直线，当a2＋b2≠1时．应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用．各类方程的相互转化是求解该类问题的前提．解决问题时要注意：(1)解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆．要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式．(2)应用解析法解决实际问题时，要注意是选取直角坐标系还是极坐标系．建立极坐标系时，要注意选择极点、极轴的位置，还要注意“点和极坐标”的“一对多”的特性．(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点P(ρ，θ)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦定理、余弦定理的应用，圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题．(4)参数方程与普通方程表示同一曲线时，要注意其中x，y的取值范围，即注意两者的等价性．