2020届高考数学一轮总复习 第十单元 计数原理 、概率与统计 第76讲 离散型随机变量的分布列、期

高考总复习第（1）轮理科数学第十单元计数原理、概率与统计第76讲离散型随机变量的分布列、期望与方差1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．3．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．随机变量离散型随机变量分布列1．离散型随机变量的分布列(1)随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫作；所有取值可以一一列出，这样的随机变量叫作.(2)若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xn，X取每个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为随机变量X的概率分布列，简称为X的.(3)离散型随机变量的两个性质：①；②.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率.2．两个常见的分布列(1)两点分布：若随机变量X的分布列是X01P1－pp其中0p1，q＝1－p，则离散型随机变量X服从两点分布，且称p＝P(X＝1)为成功概率．pi≥0，i＝1,2，…，np1＋p2＋…＋pn＝1之和(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有ξ件次品，则事件{ξ＝k}发生的概率为P(ξ＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且m≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列ξ01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN为超几何分布．如果随机变量ξ的分布列为超几何分布列，则称随机变量ξ服从超几何分布．3．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值：称EX＝为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的.(2)方差：称DX＝为X的方差，DX叫作随机变量X的，记作.方差和标准差，它刻画了随机变量X与其均值EX的.σX平均水平标准差平均偏离程度4．离散型随机变量的期望与方差的性质(1)E(aX＋b)＝(其中a，b为常数)；(2)D(aX＋b)＝(其中a，b为常数)．aEX＋ba2DX1．若离散型随机变量X的分布列为X01P9c2－c3－8c则常数c＝.解：由离散型分布列的性质可知：9c2－c＋3－8c＝1，0≤9c2－c≤1，0≤3－8c≤1，解得c＝13.答案：132．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是.解：EX＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.答案：0.73．从装有3个红球，3个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为ξ012P解：P(ξ＝0)＝C03C23C26＝15，P(ξ＝1)＝C13C13C26＝35，P(ξ＝2)＝C23C03C26＝15.答案：1535154．已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望EX＝()A.32B．2C.52D．3解：EX＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案：A5．(2018·福建福州调研)甲、乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下表．其中射击成绩比较稳定的运动员是()环数k8910P(ξ＝k)0.30.20.5P(η＝k)0.20.40.4A.甲B．乙C．一样D．无法比较解：由题中分布列可得：E(ξ)＝0.3×8＋0.2×9＋0.5×10＝9.2.E(η)＝0.2×8＋0.4×9＋0.4×10＝9.2.D(ξ)＝(8－9.2)2×0.3＋(9－9.2)2×0.2＋(10－9.2)2×0.5＝0.76.D(η)＝(8－9.2)2×0.2＋(9－9.2)2×0.4＋(10－9.2)2×0.4＝0.56.因为E(ξ)＝E(η)，D(ξ)D(η)，所以乙比较稳定．答案：B期望、方差的计算一般分布超几何分布考点1·期望、方差的计算【例1】已知随机变量X的分布列如下：X123P0.20.5m若随机变量η＝3X－1，则E(η)为()A．4.2B．18.9C．5.3D．随m的变化而变化解：因为0.2＋0.5＋m＝1，所以m＝0.3.所以E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.所以E(η)＝3E(X)－1＝3×2.1－1＝5.3.答案：C【变式探究】1．(2018·浙江卷)设0p1，随机变量ξ的分布列是ξ012P1－p212p2则当p在(0，1)内增大时，()A．D(ξ)减小B．D(ξ)增大C．D(ξ)先减小后增大D．D(ξ)先增大后减小解：由题意知E(ξ)＝0×1－p2＋1×12＋2×p2＝p＋12，D(ξ)＝[0－(p＋12)]2×1－p2＋[1－(p＋12)]2×12＋[2－(p＋12)]2×p2＝(p＋12)2×1－p2＋(p－12)2×12＋(32－p)2×p2＝12(p＋12)2＋12(p－12)2－p2(p＋12)2＋p2(32－p)2＝12(2p2＋12)－p2[(p＋12)2－(p－32)2]＝p2＋14－p(2p－1)＝－p2＋p＋14＝－(p－12)2＋12，所以D(ξ)在(0，12)上递增，在(12，1)上递减，即当p在(0，1)内增大时，D(ξ)先增大后减小.答案：D点评：根据期望、方差的定义求期望、方差的基本方法．计算时，要注意分布列的性质、期望与方差的性质的应用.考点2·超几何分布【例2】(经典真题)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．分析：本题(1)考查古典概型的概率计算；(2)考查超几何分布．解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C12C13C15C310＝14.(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115.综上知，X的分布列为X012P715715115故EX＝0×715＋1×715＋2×115＝35．【变式探究】2．(经典真题)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．解：(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C34C36C36＝1100.因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，X的可能取值为1,2,3.P(X＝1)＝C13C33C46＝15，P(X＝2)＝C23C23C46＝35，P(X＝3)＝C33C13C46＝15，所以X的分布列为X123P153515因此，X的数学期望为EX＝1×15＋2×35＋3×15＝2.点评：求超几何分布的分布列、期望的步骤：第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；第三步，用表格的形式列出分布列；第四步，根据定义求出期望．考点3·一般分布【例3】(经典真题)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．分析：(1)利用排列组合知识及古典概型概率公式求解．(2)列出随机变量X的分布列，根据均值(数学期望)公式求解．解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝A12A13A25＝310.(2)X的可能取值为200,300,400.P(X＝200)＝A22A25＝110，P(X＝300)＝A33＋C12C13A22A35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝610.故X的分布列为X200300400P110310610EX＝200×110＋300×310＋400×610＝350.【变式探究】3．(经典真题)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B，第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E＝(AC)∪(BD)，且AC与BD互斥，所以P(E)＝P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(D|B)＝C34(12)3×12×(12)4＋(12)4×12＝364.(2)X的可能取值为400,500,800，并且P(X＝400)＝1－C34(12)3×12－(12)4＝1116，P(X＝500)＝116，P(X＝800)＝C34(12)3×12＝14.所以X的分布列为X400500800P111611614EX＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.点评：(1)求离散型随机变量的分布列常见类型有：类型1：由统计数据得到离散型随机变量的分布列；类型2：用古典概型求出离散型随机变量的分布列；类型3：由互斥事件、独立事件等的概率求出离散型随机变量的分布列．(2)不论是哪种类型的分布列求解，一般步骤如下：第一步，确定X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…)，并明确每一个取值的代表意义；第二步，求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2,3，…)；第三步，列出分布列；第四步，根据需要求期望、方差等．1．分布列的计算是概率部分计算的延伸，因此，两个原理、排列、组合及随机事件的概率、古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验的概率等及其求法是学习本部分内容的基础，学习时，要自觉地运用这些知识分析处理有关的问题．2．任一离散型随机变量的概率分布都有的两个性质：(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.已知离散型随机变量的分布列(含未知参数)，可利用两条性质求出其中的参数，也可用这两条性质验证所写分布列是否正确．3．求期望、方差的基础是离散型随机变量的分布列，求分布列的一般步骤：(1)根据具体情况确定ξ取哪些值；(2)求ξ取每一个值的概率；(3)列成表格．4．两点分布和超几何分布是两种常见的离散型随机变量的分布，应熟练掌握．