2020届高考数学一轮总复习 第三单元 导数及其应用 第15讲 导数的概念及运算课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第三单元导数及其应用第15讲导数的概念及运算1．了解导数概念的实际背景．2．理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程．3．能根据导数的定义，求一些简单函数的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．1．导数的概念(1)平均变化率：函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率ΔyΔx＝_________________.(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率_____________通常称为f(x)在x＝x0处的导数，并记作f′(x0)，即_________________________________.(3)函数f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，其导数也是开区间(a，b)内的函数，称作f(x)的导函数，记作_____________.2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的_______________.曲线在点P(x0，f(x0))处的切线方程是___________________.y′或f′(x)切线的斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)3．导数的运算(1)基本初等函数的导数公式①C′＝______(C为常数)；②(xn)′＝______(n∈Q)；③(sinx)′＝______；④(cosx)′＝____________；⑤(ax)′＝________(a0且a≠1)；⑥(ex)′＝_____；⑦(logax)′＝________(a0且a≠1)；⑧(lnx)′＝________.0nxn－1cosx－sinxaxlnaex(2)导数的运算法则①和差的导数[f(x)±g(x)]′＝_________________.②积的导数[f(x)·g(x)]′＝________________________；③商的导数[fxgx]′＝_________________________(g(x)≠0)．(3)复合函数的求导法则若复合函数y＝f[u(x)]，则yx′＝yu′·ux′.即：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数(从外到里逐层求导)．1．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(a)．2．[1fx]′＝－f′x[fx]2(f(x)≠0)．3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．1．设函数f(x)可导，则limΔx→0f1＋Δx－f13Δx等于()A.f′(1)B.3f′(1)C.13f′(1)D.f′(3)解：因为f(x)可导，所以limΔx→0f1＋Δx－f13Δx＝13limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝13f′(1)．答案：C2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)f′(xB)B．f′(xA)f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定解：分别作出曲线y＝f(x)在A，B两点的切线，设切线的斜率分别为kA，kB，则由图象可知kBkA，即f′(xA)f′(xB)．答案：B3．(2019·浏阳六校联考)已知直线y＝ax是曲线y＝lnx的切线，则实数a＝()A.12B.12eC.1eD.1e2解：设切点为(x0，lnx0)，因为y′＝1x，所以切线方程为y－lnx0＝1x0(x－x0)，又切线过(0,0)，所以－lnx0＝－1，所以x0＝e，所以a＝1x0＝1e.答案：C4．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为___．解：因为y＝2ln(x＋1)，所以y′＝2x＋1.令x＝0，得y′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为2，又切线过点(0，0)，所以切线方程为y＝2x.答案：y＝2x5．(1)f(x)＝xcosx－sinx，则f′(π6)＝________；(2)y＝xx＋1，则y′|x＝2＝________；(3)y＝2x＋1，则y′＝________.解：(1)因为f′(x)＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，所以f′(π6)＝－π12.(2)因为y′＝(xx＋1)′＝x′x＋1－xx＋1′x＋12＝1x＋12，所以y′|x＝2＝12＋12＝19.(3)设u(x)＝2x＋1，y(u)＝u，则y′＝yx′＝yu′·ux′＝(u)′·(2x＋1)′＝12u·(2x＋1)′＝222x＋1＝12x＋1.答案：(1)－π12(2)19(3)12x＋1导数的概念导数的运算求切线方程考点1·导数的概念【例1】利用导数的定义求函数f(x)＝1x＋2的导数．解：因为Δy＝1x＋Δx＋2－1x＋2＝－Δxx＋Δx＋2x＋2，所以ΔyΔx＝－1x＋Δx＋2x＋2，所以f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[－1x＋Δx＋2x＋2]＝－1x＋2x＋2＝－1x＋22.【变式探究】1．设函数f(x)在x0处可导，则limΔx→0fx0－Δx－fx0Δx等于()A．f′(x0)B．－f′(x0)C．f(x0)D．－f(x0)解：limΔx→0fx0－Δx－fx0Δx＝－limΔx→0f[x0＋－Δx]－fx0－Δx＝－f′(x0)．点评：利用定义求导数的基本步骤：①求函数的增量：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；②求平均变化率：ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx；③取极限得导数：f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.考点2·导数的运算【例2】求下列函数的导数：(1)y＝exlnx;(2)y＝1＋sinx1－cosx.解：(1)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋exx.(2)y′＝1＋sinx′1－cosx－1＋sinx1－cosx′1－cosx2＝cosx1－cosx－1＋sinxsinx1－cosx2＝cosx－sinx－11－cosx2.【变式探究】2．求下列函数的导数：(1)y＝x2＋tanx;(2)(2017·浙江卷第(1)问)f(x)＝(x－2x－1)·e－x(x≥12)．解：(1)因为y＝x2＋tanx＝x2＋sinxcosx，所以y′＝(x2)′＋(sinxcosx)′＝2x＋cos2x－sinx－sinxcos2x＝2x＋1cos2x.(2)因为(x－2x－1)′＝1－12x－1，(e－x)′＝－e－x，所以f′(x)＝(1－12x－1)e－x－(x－2x－1)e－x＝1－x2x－1－2e－x2x－1(x12)．点评：利用导数公式和运算法则求导数，是求导数的基本方法(称为公式法)．用公式法求导数的关键是：认清函数式的结构特点，准确运用常用的导数公式．考点3·求切线方程【例3】(1)(2017·新课标卷Ⅰ)曲线y＝x2＋1x在点(1,2)处的切线方程为；(2)若曲线y＝xlnx存在斜率为2的切线，则该切线方程为；(3)(2018·广州模拟)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为()A．ln2B．1C．1－ln2D．1＋ln2.解：(1)因为y′＝2x－1x2，所以y′|x＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝1，又切点为(1,2)，所以切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.(2)因为y′＝lnx＋1，设切点为P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝lnx0＋1＝2，所以x0＝e.此时y0＝x0lnx0＝elne＝e，所以切点为(e，e)．故所求切线方程为y－e＝2(x－e)，即2x－y－e＝0.(3)设切点为(x0，x0lnx0)，因为y′＝lnx＋1，所以k＝lnx0＋1，所以切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，因为切线过点(0，－2)，所以－2－x0lnx0＝－x0lnx0－x0，所以x0＝2，所以k＝ln2＋1.答案：(1)x－y＋1＝0(2)2x－y－e＝0(3)D【变式探究】3．(2018·黑龙江八中第二次月考)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝.解：(方法1)分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b的值．求得(lnx＋2)′＝1x，[ln(x＋1)]′＝1x＋1.设曲线y＝lnx＋2上的切点为(x1，y1)，曲线y＝ln(x＋1)上的切点为(x2，y2)，则k＝1x1＝1x2＋1，所以x2＋1＝x1.又y1＝lnx1＋2，y2＝ln(x2＋1)＝lnx1，所以k＝y1－y2x1－x2＝2，所以x1＝1k＝12，y1＝ln12＋2＝2－ln2，所以b＝y1－kx1＝2－ln2－1＝1－ln2.(方法2)利用两切线重合进行求解．对函数y＝lnx＋2求导得y′＝1x，对函数y＝ln(x＋1)求导得y′＝1x＋1.设直线y＝kx＋b与函数y＝lnx＋2相切于P1(x1，y1)，与函数y＝ln(x＋1)相切于P2(x2，y2)，在P1(x1，y1)处的切线方程为y－(lnx1＋2)＝1x1(x－x1)，即y＝1x1x＋lnx1＋1，①在P2(x2，y2)处的切线方程为y－ln(x2＋1)＝1x2＋1(x－x2)，即y＝1x2＋1x＋ln(x2＋1)－x2x2＋1，②因为①和②表示同一条直线，所以1x1＝1x2＋1，③lnx1＋1＝lnx2＋1－x2x2＋1，④由③得x1＝x2＋1，代入④得x2＝－12，所以x1＝12，所以k＝1x1＝2，b＝lnx1＋1＝ln12＋1＝1－ln2.点评：(1)求切线方程有如下三种类型：①已知切点(x0，y0)，求切线方程；②已知切线的斜率k，求切线方程；③求过(x1，y1)的切线方程．其中①是基本类型，类型②和类型③都可转化为类型①进行处理．(2)三种类型的求解方法：类型①，利用y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)直接求出切线方程．类型②，设出切点(x0，y0)，再由k＝f′(x0)，再由(x0，y0)既在切线上，又在曲线上求解；类型③，先设出切点(x0，y0)，利用k＝f′(x0)及已知点(x1，y1)在切线上求解．1．函数y＝f(x)的导数实质上是“增量(改变量)之比的极限”，即f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.2．关于函数的导数，要熟练掌握基本导数公式和求导的运算法则，一般要遵循先化简再求导的基本原则．．利用复合函数求导法则求导，关键在于正确分析函数的复合过程，尤其是涉及多个复合而成的函数，求导时首先要弄清它是几层复合关系，然后由外而内，逐层求导．3．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点M(x0，f(x0))处切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．若设点(x0，y0)是切线l与曲线C的切点，则有如下结论：①f′(x0)是切线l的斜率；②点(x0，y0)在切线l上；③点(x0，y0)在曲线C上．