2020届高考数学一轮总复习 第九单元 解析几何 第69讲 圆锥曲线的综合应用（二）课件 理 新人教

高考总复习第（1）轮理科数学第九单元解析几何第69讲圆锥曲线的综合应用(二)(与定点、定值及探索性问题的综合)1．掌握定点、定值问题处理的常用方法．2．会求解与探索性有关的问题．1．圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是高考常考题型，难度较大．常用的解题方法有两种：(1)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从得到到定点或定值；(2)从特殊情况入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与变量无关．2．圆锥曲线中的探索性问题探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．一般步骤为：(1)假设满足条件的曲线(或直线、点等)存在，用待定系数法设出；(2)列出关于待定系数的方程(组)；(3)若方程(组)有实数解，则曲线(或直线、点等)存在，否则不存在．1．已知双曲线x22－y2b2＝1(b0)的左右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(3，y0)在该双曲线上，则1PF·2PF＝()A．－12B．－2C．0D．4解：因为b2＝1，所以双曲线方程为x22－y22＝1，因为点P(3，y0)在双曲线上，所以y0＝±1，即P(3，±1)，又因为F1(－2,0)，F2(2,0)，所以1PF·2PF＝0.答案：C2．(2017·云南省高中毕业生统一检测(一))抛物线M的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，准线与曲线E：x2＋y2－6x＋4y－3＝0只有一个公共点，设A是抛物线M上一点，若OA·AF＝－4，则点A的坐标是()A．(－1,2)或(－1，－2)B．(1,2)或(1，－2)C．(1,2)D．(1，－2)答案：B解：设抛物线M的方程为y2＝2px(p0)，则其准线方程为x＝－p2.曲线E的方程可化为(x－3)2＋(y＋2)2＝16，则有3＋p2＝4，解得p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x，F(1,0)，设A(y204，y0)，则有OA＝(y204，y0)，AF＝(1－y204，－y0)，所以OA·AF＝y204(1－y204)－y20＝－4，解得y0＝±2，所以x0＝1，所以A的坐标为(1,2)或(1，－2)．【例1】(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3(－1，32)，P4(1，32)中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程．(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．解：(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．又由1a2＋1b2＞1a2＋34b2知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上．因此1b2＝1，1a2＋34b2＝1，解得a2＝4，b2＝1.故椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|＜2，可得A，B的坐标分别为(t，4－t22)，(t，－4－t22)，则k1＋k2＝4－t2－22t－4－t2＋22t＝－1，得t＝2，不符合题设．从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．将y＝kx＋m代入x24＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1.而k1＋k2＝y1－1x1＋y2－1x2＝kx1＋m－1x1＋kx2＋m－1x2＝2kx1x2＋m－1x1＋x2x1x2.由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.即(2k＋1)·4m2－44k2＋1＋(m－1)·－8km4k2＋1＝0，解得k＝－m＋12.当且仅当m＞－1时，Δ＞0，于是l：y＝－m＋12x＋m，即y＋1＝－m＋12(x－2)，所以l过定点(2，－1)．【变式探究】1.(2016·北京卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程．(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．解：(1)由题意得ca＝32，12ab＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝3.所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．设P(x0，y0)，则x20＋4y20＝4.当x0≠0时，直线PA的方程为y＝y0x0－2(x－2)．令x＝0，得yM＝－2y0x0－2，从而|BM|＝|1－yM|＝|1＋2y0x0－2|.直线PB的方程为y＝y0－1x0x＋1.令y＝0，得xN＝－x0y0－1，从而|AN|＝|2－xN|＝|2＋x0y0－1|.所以|AN|·|BM|＝|2＋x0y0－1|·|1＋2y0x0－2|＝|x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4x0y0－x0－2y0＋2|＝|4x0y0－4x0－8y0＋8x0y0－x0－2y0＋2|＝4.当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，所以|AN|·|BM|＝4.综上，|AN|·|BM|为定值．点评：(1)解决定点、定值问题常用的思路有两种：①从特殊入手，求得定点、定值，再证明这个定点、定值与变量无关；②直接推理计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点、定值．(2)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)来证明．【例2】(经典真题)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝x24与直线：y＝kx＋a(a0)交于M，N两点．(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．解：(1)由题设可得M(2a，a)，N(－2a，a)，或M(－2a，a)，N(2a，a)，又y′＝x2，故y＝x24在x＝2a处的导数值为a，C在点(2a，a)处的切线方程为y－a＝a(x－2a)，即ax－y－a＝0.y＝x24在x＝－2a处的导数值为－a，C在点(－2a，a)处的切线方程为y－a＝－a(x＋2a)，即ax＋y＋a＝0.故所求的切线方程为ax－y－a＝0和ax＋y＋a＝0.(2)假设符合题意的点存在，设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝y1－bx1＋y2－bx2＝2kx1x2＋a－bx1＋x2x1x2＝ka＋ba.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．【变式探究】2．(2017·湖南湘中名校联考)如图，曲线C由上半椭圆C1：y2a2＋x2b2＝1(ab0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为32.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)在C1，C2的方程中令y＝0，可得b＝1.且A(－1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点．设C1的半焦距为c，由ca＝32及a2－c2＝b2＝1，可得a＝2.所以a＝2，b＝1.(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为y24＋x2＝1(y≥0)，由题意知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0，(*)设点P的坐标为(xP，yP)，因为直线l过点B，所以x＝1是方程(*)的一个根，由求根公式，得xP＝k2－4k2＋4，从而yP＝－8kk2＋4，所以点P的坐标为(k2－4k2＋4，－8kk2＋4)．同理，由y＝kx－1，y＝－x2＋1y≤0，得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．所以AP＝2kk2＋4(k，－4)，AQ＝－k(1，k＋2)，依题意可知AP⊥AQ，所以AP·AQ＝0，即－2k2k2＋4[k－4(k＋2)]＝0，因为k≠0，所以k－4(k＋2)＝0，解得k＝－83，经检验，k＝－83符合题意，故直线l的方程为y＝－83(x－1)．点评：(1)存在性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在．若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．(2)在具体求解过程中，要注意化归与转化思想的运用，如例2，将判断∠OPM＝∠OPN是否成立的问题转化为判断k1＋k2＝0是否成立，变式2中，将以PQ为直径的圆是否过A点转化为AP⊥AQ是否垂直，进而转化为AP·AQ＝0，从而实数了将“形”的问题转化为“数”来研究，也体现了数形结合思想的运用．1．定值问题、探究性问题常与解析几何综合问题结合在一起，考查考生运算求解能力、推理论证能力和化归与转化的思想方法．2．定值问题一般是直接推理，计算，在推理计算过程中消去变量，从而得到定点或定值；有时也可采用特殊与一般的辩证关系进行求解，即先通过特例找到定点或定值，再进行证明．3．探究性问题，一般是采用“肯定顺推法”即先假设成立，在此基础上进行推理，若推出符合题意的结果，说明假设成立，若推出矛盾的结果，说明假设不成立．探究性问题的处理，要特别注意化归与转化思想的运用，同时，要有意识地培养自己的运算求解能力及推理论证能力．