2020届高考数学一轮总复习 第九单元 解析几何 第68讲 圆锥曲线的综合应用（一）课件 理 新人教

高考总复习第（1）轮理科数学第九单元解析几何第68讲圆锥曲线的综合应用(一)(与最值、范围的综合)1．掌握求圆锥曲线有关最值的基本方法：代数法与几何法．2．能根据问题特点，灵活选择求最值的方法，提高综合运用知识的能力．求解最值、范围问题的常用方法1.代数法：把所要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数、不等式等求解．常用的代数法有：①利用二次函数求最值或范围；②利用三角换元、利用正、余弦函数的有界性求最值或范围；③利用基本不等式求最值或范围；④利用导数判断函数的单调性求最值或范围．2．几何法：利用曲线的定义、几何性质及平面几何中的定理、性质等求解．1．抛物线y2＝12x上的点与直线3x－y＋5＝0的最近距离为()A.105B.2105C.55D.255解：(方法1：代数法)抛物线上的点(y212，y)到直线的距离d＝|3·y212－y＋5|10＝1410y－22＋16≥410＝2105.当且仅当y＝2时，等号成立．(方法2：几何法)如图，若将直线3x－y＋5＝0平移，则移到刚好与抛物线y2＝12x相切时，切点到直线的距离最小．设与3x－y＋5＝0平行的切线为3x－y＋t＝0，代入抛物线方程得y2－4y＋4t＝0，Δ＝16－16t＝0，所以t＝1，所以最近距离d＝|5－1|10＝2105.答案：B2．(2019·长春市高三质量监测(二))双曲线C的渐近线方程为y＝±233x，一个焦点F(0，－7)，点A(2，0)，点P为双曲线上在第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为()A．8B．10C．4＋37D．3＋17解：由已知得ab＝233，c＝7，c2＝a2＋b2，解得a2＝4，b2＝3，c2＝7.则双曲线方程为y24－x23＝1.设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，点P在第一象限，|PF′|＋|PA|的最小值为|AF′|＝3.故△PAF的周长的最小值为10.答案：B【例1】(经典真题)已知点A(0，－2)，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．解：(1)设F(c,0)，由条件知，2c＝233，得c＝3.又ca＝32，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为x24＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入x24＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)0，即k234时，x1,2＝8k±24k2－34k2＋1.从而|PQ|＝k2＋1|x1－x2|＝4k2＋1·4k2－34k2＋1.又点O到直线PQ的距离d＝2k2＋1.所以△OPQ的面积S△OPQ＝12d·|PQ|＝44k2－34k2＋1.设4k2－3＝t，则t0，S△OPQ＝4tt2＋4＝4t＋4t.因为t＋4t≥4，当且仅当t＝2，即k＝±72时等号成立，且满足Δ0.所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝72x－2或y＝－72x－2.【变式探究】1．如图，已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为32，点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为655.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点E(3,0)，设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求EP·QP的最小值．解：(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则ca＝32，a2＝b2＋c2，aba2＋b2＝655，解得a＝6，b＝3，所以椭圆C的方程为x236＋y29＝1.(2)因为EP⊥EQ，所以EP·QP＝EP·(EP－EQ)＝EP2，设P(x0，y0)，则x20＋4y20＝36，所以EP·QP＝EP2＝(x0－3)2＋y20＝34(x0－4)2＋6，又因为－6≤x0≤6，所以当x0＝4时，EP·QP的最小值为6.点评：(1)关键是建立目标函数的表达式，然后根据表达式的特点，求其最值．(2)建立函数表达式时，要注意分析影响函数值变化的因素，合理选取自变量．如例1中，影响△OPQ面积的变化因素是直线l的位置，而影响直线l的位置的因素是直线的斜率k，因此，可建立S△OPQ与k的函数关系．变式1中，由于E是定点，P、Q之间有联系，因此影响EP·QP变化的是P(或Q)的位置，而P(或Q)的位置可由P(或Q)的横坐标(也可是纵坐标)确定，因此，可建立EP·QP与P点的横坐标的函数关系．(3)建立目标函数后，要对目标函数适当恒等变形，采用换元或二元变一元等技巧，化归为熟悉的类型求最值．【例2】已知椭圆x212＋y23＝1和直线l：x－y＋9＝0，在l上任取一点M，经过点M且以椭圆的焦点F1、F2为焦点作椭圆．求M在何处时所作的椭圆长轴最短，并求出此椭圆的方程．解：因为F1(－3,0)，F2(3,0)，易知F1关于l：x－y＋9＝0的对称点F1′(－9,6)，所以F1′F2的方程为x＋2y－3＝0.所以x＋2y－3＝0，x－y＋9＝0，得交点M(－5,4)，即过M(－5,4)的椭圆，长轴最短．由|MF1|＋|MF2|＝2a，则2a＝65，所以a2＝45，又c2＝9，所以b2＝36.故所求椭圆的方程为x245＋y236＝1.【变式探究】2.(经典真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程．(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．解：(1)抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为(p2，0)，由点(p2，0)在直线l：x－y－2＝0上，得p2－0－2＝0，即p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋B．①证明：由y2＝2px，y＝－x＋b消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)0，化简得p＋2b0.方程(*)的两根为y1,2＝－p±p2＋2pb，从而y0＝y1＋y22＝－p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.由①知p＋2b0，于是p＋2(2－2p)0，所以p43.因此，p的取值范围是(0，43)．点评：(1)运用几何法要注意数形结合，运用曲线的定义和几何性质及平面几何中的有关重要结论．例2中，要使长轴最短，由椭圆的定义可知，即要使|MF1|＋|MF2|最短，再由平面几何的知识知，M点为F1关于l的对称点F1′与F2的连线和l的交点．(2)曲线上存在关于某一直线l的对称点P、Q等相关问题，要紧扣如下两点：①P、Q的存在性(用Δ0保证)；②P、Q关于l对称⇔P、Q连线垂直l；P、Q中点在l上.1．有关直线与圆锥曲线的最值问题是解析几何综合问题的重要内容之一，它融解析几何知识与函数知识为一体，综合性强．处理最值问题时要注意：(1)函数思想的运用，将最值问题转化为求函数的有关值域或最值问题．(2)自变量的取值范围．(3)根据目标函数的特征灵活选择求最值的方法．(4)题目中的几何特征，充分考虑图形性质．2．解析几何综合问题常综合函数、不等式、三角、向量等知识，涉及的知识点较多，可以充分体现在知识交汇点处命题的思想，因而成为高考的重点和热点．因此，要特别注意知识的综合运用，提高综合分析能力和数学应用能力．