2020届高考数学一轮总复习 第二单元 函数 第11讲 幂函数课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第二单元函数第11讲幂函数1．了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝12x的图象，了解它们的变化情况．3．能运用幂函数的图象和性质解决一些简单问题．1．幂函数的定义一般地，函数____________________叫作幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象比较3．幂函数y＝xα的性质α0α0图象通过点图象通过点在第一象限内，函数是在第一象限内，函数是幂函数的性质在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近1．幂函数y＝xα(α≠0,1)在第一象限的图象有以下三种形式：2．幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的定义域及奇偶性．幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．1．(2018·运城夏县中学月考)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(12，22)，则k＋α＝()A.12B．1C.32D．2解：根据幂函数的定义，可得k＝1，函数f(x)＝k·xα的图象经过点(12，22)，可得(12)α＝22，解得α＝12，所以k＋α＝1＋12＝32.故选C.答案：C2．设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为()A．1,3B．－1,1C．－1,3D.12，1,3解：y＝x－1的定义域为{x|x≠0}，y＝12x的定义域为{x|x≥0}，所以B、C、D均可排除，选A.答案：A3．幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝12x的图象经过的“卦限”是()A.④⑦B.④⑧C.③⑧D.①⑤解：因为当0x1时，12xx，所以0x1时，y＝12x的图象在直线y＝x的上方；当x1时，12xx，所以当x1时，y＝x12的图象在直线y＝x的下方．由此可知y＝12x的图象经过的“卦限”是⑤和①.答案：D4．(2017·湖南长沙一模)已知函数f(x)＝x12，则()A．∃x0∈R，使得f(x0)0B．∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥0C．∃x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，使得fx1－fx2x1－x20D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)f(x2)解：由f(x)＝x12知，f(x)的定义域为[0，＋∞)，且在[0，＋∞)上，f(x)≥0恒成立，A错误，B正确．易知f(x)在[0，＋∞)为增函数，所以∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，fx1－fx2x1－x20，故C错误．在D中，当x1＝0时，不存在x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)f(x2)，故D错误．故选B.答案：B5．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝243，b＝425，c＝2513，则()A．bacB．abcC．bcaD．cab解：因为a＝243，b＝425＝245，由函数y＝2x在R上为增函数知b＜a；又因为a＝243＝423，c＝2513＝523，由函数y＝x23在(0，＋∞)上为增函数知a＜c.综上得b＜a＜c.故选A.答案：A幂函数的概念比较大小幂函数的图象和性质的综合应用考点1·幂函数的概念【例1】(2019·江西九江七校联考)幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为()A．1或3B．1C．3D．2解：因为f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以m2－4m＋4＝1，m2－6m＋80，解得m＝1.答案：B【变式探究】1．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为()A．m＝2B．m＝－1C．m＝－1或m＝2D．m≠1±52解：因为幂函数x的系数为1，y＝xα在(0，＋∞)上是减函数，则α0，所以m2－m－1＝1，－5m－30，解得m＝2.点评：幂函数和指数函数、对数函数一样，是一种“形式”定义，它满足如下特征：(1)以幂的底为自变量，指数为常数；(2)xα前的系数为1，xα后面不加任何项.考点2·比较大小【例2】(2016·全国卷Ⅰ)若ab1,0c1，则（）A．acbcB．abcbacC．alogbcblogacD．logaclogbc解：(方法1)构造函数，利用函数单调性及不等式的性质进行比较．因为y＝xα，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数，所以当ab1,0c1时，acbc，选项A不正确．因为y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数，所以当ab1,0c1，即－1c－10时，ac－1bc－1，即abcbac，选项B不正确．因为ab1，所以lgalgb0，所以algablgb0，所以algbblga.又因为0c1，所以lgc0.所以algclgbblgclga，所以alogbcblogac，选项C正确．同理可证logaclogbc，选项D不正确．(方法2)等价变形后进行比较：对于A，acbc⇔(ab)c1＝(ab)0不成立；对于B，abcbac⇔(ab)1(ab)c不成立；对于C，alogbcblogac⇔logcaalogcbb成立；对于D，logaclogbc⇔logcblogca不成立．(方法3)特殊值排除．令a＝3，b＝2，c＝12，代入A，得32，排除A；代入B,3223，不正确，排除B；代入D，左边＝log312＝－log32，右边＝log212＝－1.排除D.故应选C.答案：C【变式探究】2．(2018·浙江十二校第二次联考)设12(12)b(12)a1，那么()A．aaabbaB．aabaabC．abaabaD．abbaaa解：因为y＝(12)x在R上单调递减，又12(12)b(12)a1，可得0ab1.所以指数函数y＝ax在R上为减函数，所以abaa.幂函数y＝xa在(0，＋∞)上是增函数，所以aaba.综上可得abaaba，故选C.点评：(1)构造函数，利用单调性是比较有关大小的常用方法：①当底数是同一个正数时，用指数函数模型比较两个值的大小；②当指数是同一个实数时，用幂函数模型比较两个值的大小；③当底数和指数都不同时，常常借助中间量，如“0”“1”等进行比较．(2)比较有关大小时，要注意如下方法技巧，以简化求解过程：①对代数式进行恰当的等价变形；②恰时地利用特例进行排除；③合理地利用函数图象．如判断例2中D选项的正确性，也可采用图象法进行．作出函数y＝logax，y＝logbx(ab1)，又0c1，所以logaclogbc.D不正确．考点3·幂函数的图象和性质的综合应用【例3】若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(2，12)在幂函数g(x)的图象上，定义h(x)＝fx，fx≤gx，gx，fxgx，则函数h(x)的最大值为，单调递减区间为.解：设f(x)＝xα，因为点(2，2)在f(x)的图象上，所以(2)α＝2，所以α＝2，所以f(x)＝x2；又设g(x)＝xβ，因为点(2，12)在g(x)的图象上，所以2β＝12，所以β＝－1，所以g(x)＝x－1.在同一坐标系中画出函数f(x)与g(x)的图象，如图所示(其中粗线表示h(x)的图象)：则有h(x)＝x－1，x0，x2，0x≤1，x－1，x1.根据图象可知h(x)的最大值等于1，单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(－∞，0)和(1，＋∞)．答案：1(－∞，0)和(1，＋∞)【变式探究】3．(2019·山东菏泽一模)设min{m，n}表示m，n二者中较小的一个，已知函数f(x)＝x2＋8x＋14，g(x)＝min{(12)x－2，log2(4x)}(x0)，若∀x1∈[－5，a](a≥－4)，∃x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，则a的最大值为()A．－4B．－3C．－2D．0解：令(12)x－2＝log2(4x)，解得x＝1，易知当0x≤1时，(12)x－2≥log2(4x)，当x1时，(12)x－2log2(4x)，所以g(x)＝min{(12)x－2，log2(4x)}(x0)＝log24x，0x≤1，12x－2，x1，所以当0x≤1时，g(x)的值域为(－∞，2]，当x1时，g(x)的值域为(0,2)，所以g(x)的值域为(－∞，2]．易得f(x)＝(x＋4)2－2，其图象开口向上，对称轴为x＝－4.当－4≤a≤－3时，函数f(x)在[－5，a]上的值域为[－2，－1]，显然满足题意；当a－3时，函数f(x)在[－5，a]上的值域为[－2，a2＋8a＋14]，要满足∀x1∈[－5，a](a≥－4)，∃x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，只需a2＋8a＋14≤2，则－3a≤－2.综上所述，满足题意的a的取值范围为[－4，－2]．所以a的最大值为－2.点评：(1)例3实质上是在两个函数f(x)与g(x)的基础上定义了一个新的函数h(x)，求解的关键是理解h(x)的意义，由定义可知h(x)是取f(x)和g(x)中的较小者．作出图象即可得到其最值和单调区间．(2)变式3定义的g(x)其意义与例3中h(x)的意义实质上是一致的．理解“由∀x1∈[－5，a](a≥－4)，∃x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立”的意义，即f(x)在[－5，a]上的值域是g(x)在(0，＋∞)上值域的子解是解题的关键．1．幂函数y＝xα的性质和图象，由于α的取值不同而比较复杂，因此，重点要求掌握y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝12x这五种幂函数的图象和性质．2．幂函数y＝xα(α为常数)的定义域是使解析式有意义的自变量x的取值范围．当α为分数指数幂时，常常将其改写成根式形式，再根据根式有意义，得出其定义域．对幂函数的研究，关键是掌握第一象限的图象和性质，在此基础上，进而通过定义域的研究确定y轴左侧是不是有图象，通过对奇偶性的研究，确定在y轴左侧的图象和性质．3．幂函数y＝xα在第一象限的图象特征：(1)α的正负：α0时，图象经过(0,0)点和(1,1)点，在第一象限的部分“上升”；α0的图象不过(0,0)点，经过(1,1)点，在第一象限的部分“下降”．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α1时曲线下凹，0α1时曲线上凸，α0时曲线下凹．4.幂函数的主要应用有：比较大小、解不等式、求参数的范围等，要注意以幂函数为载体和其他知识结合的综合问题的处理．