2020届高考数学一轮复习 第四篇 平面向量 第1节 平面向量的概念及线性运算课件 理 新人教A版

第四篇平面向量(必修4)返回导航高考考点、示例分布图命题特点1.高考在本篇一般命制2个小题，分值占5分．2.高考在本篇重点考查平面向量的线性运算、坐标运算、向量的平行与垂直、数量积等．属容易题．五年新课标全国卷试题分析第1节平面向量的概念及线性运算最新考纲1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.返回导航返回导航【教材导读】1．两个不同向量能比较大小吗？提示：不能．2．共线向量定理中为什么规定a≠0?提示：若不规定a≠0，则λ可能不存在，也可能有无数个．3．当a∥b，b∥c时，一定有a∥c吗？提示：不一定．当b≠0时，有a∥c.当b＝0时，a，c可以是任意向量，不一定共线．1．向量的有关概念(1)定义：既有________又有_______的量叫做向量．(2)表示方法：①用字母表示：如a，b，c等；②用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的________，箭头所指的方向表示向量的________．如AB→，CD→等．(3)模：向量的________叫做向量的模，记作|a|，|b|或|AB→|，|CD→|.返回导航大小方向大小方向大小2．特殊向量名称定义备注零向量长度为______的向量记作0，0的方向是任意的单位向量长度等于________的向量非零向量a的同向单位向量为a|a|平行(共线)向量方向相同或______的非零向量0与任一向量平行(或共线)相等向量长度_____且方向______的向量两个向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度______且方向_____的向量0的相反向量为0返回导航零1个单位相反相等相同相等相反3.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝_______；结合律：(a＋b)＋c＝___________返回导航b＋aa＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝_______.当λ0时，λa的方向与a的方向______；当λ0时，λa的方向与a的方向_______；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝_______；(λ＋μ)a＝_________；λ(a＋b)＝_________返回导航相同相反|λ||a|(λμ)aλa＋μaλa＋λb4.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.返回导航【重要结论】A，B，C三点共线，O为A，B，C所在直线外任一点，则：OA→＝λOB→＋μOC→且λ＋μ＝1.1．设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则()(A)PA→＋PB→＝0(B)PC→＋PA→＝0(C)PB→＋PC→＝0(D)PA→＋PB→＋PC→＝0返回导航答案：B2.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()(A)12a＋b(B)12a－b(C)a＋12b(D)a－12b返回导航答案：A3．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．其中错误的命题的个数为()(A)1(B)2(C)3(D)0返回导航B解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.故选B.返回导航4.已知O，A，B，C是平面内不同的四个点，且OA→＝xOB→＋yOC→，则“x＋y＝1”是“A，B，C三点共线”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件返回导航答案：C5．已知向量i与j不共线，且AB→＝i＋mj，AD→＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n满足的条件是()(A)m＋n＝1(B)m＋n＝－1(C)mn＝1(D)mn＝－1返回导航C解析：因为A，B，D三点共线，所以AB→＝λAD→⇔i＋mj＝λ(ni＋j)，m≠1，又向量i与j不共线，所以1＝λn，m＝λ，所以mn＝1.返回导航考点一平面向量的基本概念(1)给出下列命题：①若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；②若a＝b，b＝c，则a＝c；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________．(2)已知OA→＝(2,0)，OB→＝(0,2)，AC→＝tAB→，t∈R.当|OC→|最小时，t＝________.解析：(1)①正确．∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB→∥DC→且|AB→|＝|DC→|，因此，AB→＝DC→.②正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是①②.返回导航(2)∵AC→＝tAB→，∴OC→－OA→＝t(OB→－OA→)，得OC→＝tOB→＋(1－t)OA→，＝(2－2t,2t)，|OC→|＝2－2t2＋4t2＝22t－122＋12，当t＝12时，|OC→|有最小值2，故答案为12.返回导航答案：(1)①②(2)12【反思归纳】解平面向量有关概念问题的关键点(1)准确理解向量的基本概念．(2)熟记一些常用结论．①向量相等具有传递性，向量共线不具有传递性，但非零向量的共线具有传递性；②向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可比较大小．返回导航【即时训练】下列说法正确的个数是()(1)温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；(2)零向量没有方向；(3)向量的模一定是正数；(4)非零向量的单位向量是唯一的．(A)0(B)1(C)2(D)3返回导航B解析：(1)错误，只有速度和位移是向量；(2)错误，零向量是有方向的，它的方向是任意的；(3)错误，|0|＝0；(4)显然正确．考点二平面向量的线性运算考查角度1：求平面向量的和．点M是△ABC的重心，则MA→＋MB→－MC→等于()(A)0(B)4ME→(C)4MF→(D)4MD→返回导航C解析：MA→＋MB→－MC→＝2MF→－(－2MF→)＝4MF→.故选C.【反思归纳】解题的关键是搞清各向量间关系，找出图形中的相等向量、相反向量，熟练运用向量的加法法则求解．返回导航考查角度2：用已知向量表示未知向量．设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则()(A)AD→＝－13AB→＋43AC→(B)AD→＝13AB→－43AC→(C)AD→＝43AB→＋13AC→(D)AD→＝43AB→－13AC→返回导航解析：解法一因为BC→＝3CD→，所以CD→＝13BC→，所以AD→＝AC→＋CD→＝AC→＋13BC→＝AC→＋13(AC→－AB→)＝－13AB＋43AC→.解法二因为BC→＝3CD→，所以AC→－AB→＝3(AD→－AC→)，所以AD→＝－13AB→＋43AC→.返回导航答案：A【反思归纳】(1)向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”，即第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；(2)向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”，即两个向量的起点重合，差向量由减向量的终点指向被减向量的终点；(3)平行四边形法则的要素是“起点重合”，即两个向量的起点相同，和向量的起点也相同；(4)当两向量平行时，三角形法则适用，平行四边形法则不适用；(5)向量加法的多边形法则：A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An＝A1An→.返回导航考查角度3：求参数的值．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ等于()(A)23(B)13(C)－13(D)－23返回导航解析：如图所示，过点D分别作AC，BC的平行线，分别交BC，AC于点F，E，所以CD→＝CE→＋CF→.因为AD→＝2DB→，所以CE→＝13CA→，CF→＝23CB→，故CD→＝13CA→＋23CB→，所以λ＝23.返回导航【反思归纳】求解参数问题，一般是利用向量的线性运算得到相关向量的线性表示，然后对比向量等式求出参数，或建立方程(组)求解．返回导航考点三共线向量定理及其应用设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB→＝－a＋b，BC→＝2a＋tb，CD→＝2014a－2b，且A，B，D三点共线，则t＝________.(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，则实数k＝________.返回导航解析：(1)AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(－a＋b)＋(2a＋tb)＋(2014a－2b)＝2015a＋(t－1)b，因为A，B，D三点共线，所以AB→与AD→共线．所以AD→＝μAB→(μ为实数)，即2015a＋(t－1)b＝μ(－a＋b)，解得μ＝－2015，t＝－2014.返回导航(2)因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.因为a与b是两个不共线的非零向量，所以8－λk＝0，k－2λ＝0⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，所以k＝2λ＝±4.返回导航答案：(1)－2014(2)±4【反思归纳】利用共线向量定理解题的方法(1)证明向量共线，对于向量a，b(a≠0)，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．(2)证明三点共线，若存在实数λ，使AB→＝λAC→，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．返回导航【即时训练】经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP→＝mOA→，OQ→＝nOB→，m，n∈R，求1n＋1m的值．返回导航解析：设OA→＝a，OB→＝b，则OG→＝13(a＋b)，PQ→＝(OQ→－OP→)＝nb－ma，PG→＝OG→－OP→＝13(a＋b)－ma＝13－ma＋13b.由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ→＝λPG→，即nb－ma＝λ13－ma＋13λb，从而－m＝λ13－m，n＝13λ，消去λ，得1n＋1m＝3.返回导航平面向量的线性运算教材源题：已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA→＝a，OB→＝b，用向量a，b分别表示向量OC→，OD→，DC→，BC→.返回导航解：如图所示，OC→＝－a，OD→＝－b，DC→＝b－a，BC→＝－a－b.返回导航【方法总结】解决此类问题，一般是利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则及图形的线线关系进行转化，注意向量等式所刻画的图形关系．【源题变式】在△ABC中，AF＝13AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若AB→＝a，AC→＝b，且CE→＝xa＋yb，则x＋y＝________.返回导航解：设FB的中点为M，连接MD.因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MD∥CF.因为AF＝13AB，所以F为AM的中点，E为AD的中点．方法一因为AB→＝a，AC→＝b，D为BC的中点，所以AD→＝12(a＋b)．所以AE→＝12AD→＝14(a＋b)．所以CE→＝CA→＋AE→＝－AC→＋AE→＝－b＋14(a＋b)＝14a－34b.所以x＝14，y＝－34，所以x＋y＝－12.返回导航方法二易得EF＝12MD，MD＝12CF，所以EF＝14CF，所以CE＝34CF.因为