2020届高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第11节 导数在研究函数中的应用（第4课时）

第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修2-2)返回导航第11节导数在研究函数中的应用返回导航利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题是高考考查的重点，常以压轴题的形式出现，难度较大．解决此类问题常利用分离参数法或构造函数法将问题转化为函数最值问题求解．第四课时利用导数研究不等式恒成立求参数范围专题分离参数法求参数范围(改编题)设函数f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ex－ax，其中a为实数．若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，则a的取值范围是()(A)(e，＋∞)(B)[e，＋∞)(C)(1，＋∞)(D)[1，＋∞)返回导航解析：f′(x)＝1x－a，g′(x)＝ex－a，由题意得，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0恒成立，即当x∈(1，＋∞)时，a≥1x恒成立，则a≥1.因为g′(x)＝ex－a在(1，＋∞)上单调递增，所以g′(x)＞g′(1)＝e－a.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，则必有e－a＜0，即a＞e.综上，可知a的取值范围是(e，＋∞)．返回导航答案：A【反思归纳】已知不等式f(x，λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下：第一步，将原不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)分离，使不等式的一边是参数，另一边不含参数，即化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式；第二步，利用导数求出函数f2(x)(x∈D)的最大(小)值；第三步，解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，从而求出参数λ的取值范围．返回导航【即时训练】(2017洛阳统考)已知函数f(x)＝ex＋ax2－e2x.(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)若x0时，总有f(x)－e2x，求实数a的取值范围．返回导航解：(1)由f′(x)＝ex＋2ax－e2得：y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率k＝4a＝0，则a＝0.此时f(x)＝ex－e2x，f′(x)＝ex－e2.由f′(x)＝0，得x＝2.当x∈(－∞，2)时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递增．所以函数f(x)的单调增区间是(2，＋∞)，单调减区间是(－∞，2)．返回导航(2)由f(x)－e2x得a－exx2.设g(x)＝－exx2，x0，则g′(x)＝ex2－xx3.所以当x∈(0,2)时，g′(x)0，g(x)在(0,2)上单调递增；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)0，g(x)在(2，＋∞)上单调递减．所以g(x)≤g(2)＝－e24.因此，a的取值范围为－e24，＋∞.返回导航分类讨论法求参数范围(2017全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．返回导航解析：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．(ⅰ)若a≤0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递减．(ⅱ)若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝－lna.当x∈(－∞，－lna)时，f′(x)＜0；当x∈(－lna，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，－lna)单调递减，在(－lna，＋∞)单调递增．返回导航(2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点．(ⅱ)若a＞0，由(1)知，当x＝－lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(－lna)＝1－1a＋lna.①当a＝1时，由于f(－lna)＝0，故f(x)只有一个零点；②当a∈(1，＋∞)时，由于1－1a＋lna＞0，即f(－lna)＞0，故f(x)没有零点；返回导航③当a∈(0,1)时，1－1a＋lna＜0，即f(－lna)＜0.又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0，故f(x)在(－∞，－lna)有一个零点．设正整数n0满足n0＞ln3a－1，则f(n0)＝en0(aen0＋a－2)－n0＞en0－n0＞2n0－n0＞0.由于ln3a－1＞－lna，因此f(x)在(－lna，＋∞)有一个零点．综上，a的取值范围为(0,1)．返回导航【反思归纳】如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数或判别式的方法求解．返回导航【即时训练】已知函数f(x)＝－x2＋2xx≤0，lnx＋1x＞0，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()(A)(－∞，0](B)(－∞，1](C)[－2,1](D)[－2,0]返回导航解析：|f(x)|≥ax⇔－－x2＋2x≥axx≤0，1lnx＋1≥axx＞0.2①由(1)得x(x－2)≥ax在区间(－∞，0]上恒成立．当x＝0时，a∈R；当x＜0时，有x－2≤a在区间(－∞，0]上恒成立，所以a≥－2.故a≥－2.返回导航②由(2)得ln(x＋1)－ax≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，设h(x)＝ln(x＋1)－ax(x＞0)，则h′(x)＝1x＋1－a(x＞0)，可知h′(x)为减函数．当a≤0时，h′(x)＞0，故h(x)为增函数，所以h(x)＞h(0)＝0恒成立；当a≥1时，因为1x＋1∈(0,1)，所以h′(x)＝1x＋1－a＜0，故h(x)为减函数，所以h(x)＜h(0)＝0恒成立，显然不符合题意；返回导航当0＜a＜1时，对于给定的一个确定值a，总可以找到一个x0＞0，满足h(x0)＝ln(x0＋1)－ax0＜0成立．如当a＝12时，取x0＝4，则h(x0)＝ln5－2＜0成立，可知当0＜a＜1时，不符合题意．故a≤0.由①②可知a的取值范围是[－2,0]．返回导航答案：D利用转化与化归思想求解存在性不等式成立问题设f(x)＝ax＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3.(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M.(2)如果对于任意的s，t∈12，2，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．返回导航解析：(1)存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M.由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3xx－23.令g′(x)＞0得x＜0，或x＞23，又x∈[0,2]，所以g(x)在区间0，23上单调递减，在区间23，2上单调递增，所以g(x)min＝g23＝－8527，g(x)max＝g(2)＝1.返回导航故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝11227≥M，则满足条件的最大整数M＝4.(2)对于任意的s，t∈12，2，都有f(s)≥g(t)成立，等价于在区间12，2上，函数f(x)min≥g(x)max.由(1)可知在区间12，2上，g(x)的最大值为g(2)＝1.在区间12，2上，f(x)＝ax＋xlnx≥1恒成立等价于a≥x－x2lnx恒成立．返回导航设h(x)＝x－x2lnx，h′(x)＝1－2xlnx－x，可知h′(x)在区间12，2上是减函数，又h′(1)＝0，所以当1＜x＜2时，h′(x)＜0；当12＜x＜1时，h′(x)＞0.即函数h(x)＝x－x2lnx在区间12，1上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h(x)max＝h(1)＝1，所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)．返回导航【反思归纳】不等式的恒成立与能成立问题(1)f(x)＞g(x)对一切x∈I恒成立⇔I是f(x)＞g(x)的解集的子集⇔[f(x)－g(x)]min＞0(x∈I)．(2)f(x)＞g(x)对x∈I能成立⇔I与f(x)＞g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)－g(x)]max＞0(x∈I)．(3)对∀x1，x2∈D使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min.(4)对∀x1∈D1，∃x2∈D2使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min，f(x)定义域为D1，g(x)定义域为D2.返回导航【即时训练】已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．返回导航解析：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f′(x)＝lnx＋1x－3，f′(1)＝－2，f(1)＝0.曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.(Ⅱ)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于lnx－ax－1x＋1＞0.设g(x)＝lnx－ax－1x＋1，则g′(x)＝1x－2ax＋12＝x2＋21－ax＋1xx＋12，g(1)＝0，返回导航(ⅰ)当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；(ⅱ)当a＞2时是，令g′(x)＝0得x1＝a－1－a－2－1，x2＝a－1＋a－2－1，由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此g(x)＜0.综上，a的取值范围是(－∞，2]．返回导航