2020届高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何 第1讲 直线与圆课件 理

专题五解析几何第1讲直线与圆1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2，6]B．[4，8]C．[2，32]D．[22，32]解析：由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r＝2，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|2＋2|1＋1＝22.所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝32，最小距离是d－r＝2.易知A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝22，所以2≤S△ABP≤6.答案：A2．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________．解析：由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝|－1－1|2＝2.所以|AB|＝222－（2）2＝22.答案：223．(2019·浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．解析：根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|＝（－2－0）2＋（－1－3）2＝25，|AC|＝（－2－0）2＋（－1－m）2＝4＋（m＋1）2，|BC|＝|m－3|.因为直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A，所以CA⊥AB，|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，则20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，解得m＝－2.因此r＝|AC|＝4＋（－2＋1）2＝5.答案：－254．(2019·全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解：(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上，由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1，0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.从近几年高考命题看，本讲高考的重点是直线与圆的方程，两条直线的位置关系、直线与圆的位置关系，考查的主要内容是求直线(圆)的方程，点到直线的距离，直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等．热点1直线方程(自主演练)1．两条直线平行与垂直．若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程．要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式．(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.1．(2019·佛山一中月考)已知直线l的倾斜角为θ且过点(3，1)，其中sinθ－π2＝12，则直线l的方程为()A.3x－y－2＝0B.3x＋y－4＝0C．x－3y＝0D.3x＋3y－6＝0解析：因为sinθ－π2＝12，所以cosθ＝－12.因为θ∈[0，π)，所以θ＝2π3，则tanθ＝－3，所以直线l的方程为y－1＝－3(x－3)，即3x＋y－4＝0.答案：B2．直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由(3＋m)(5＋m)－4×2＝0，得m＝－1或m＝－7.但m＝－1时，直线l1与l2重合．当m＝－7时，l1的方程为2x－2y＝－13，直线l2：2x－2y＝8，此时l1∥l2.所以“m＝－7或m＝－1”是“l1∥l2”的必要不充分条件．答案：B3．已知l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________．解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1，1)，B(0，－1)，所以kAB＝－1－10－1＝2.所以两平行直线的斜率k＝－12.所以直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝04．已知直线l1：kx－y＋4＝0与直线l2：x＋ky－3＝0(k≠0)分别过定点A，B，又l1，l2相交于点M，则|MA|·|MB|的最大值为________．解析：由题意可知，直线l1：kx－y＋4＝0经过定点A(0，4)，直线l2：x＋ky－3＝0经过定点B(3，0)，注意到kx－y＋4＝0和直线l2：x＋ky－3＝0始终垂直，M又是两条直线的交点，则有MA⊥MB，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25.故|MA|·|MB|≤252(当且仅当|MA|＝|MB|＝522时取“＝”)．答案：252[思维升华]1．求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．2．求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意．热点2圆的方程(讲练互动)1．圆的标准方程．当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心为原点时，方程为x2＋y2＝r2.2．圆的一般方程．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以－D2，－E2为圆心，D2＋E2－4F2为半径的圆．【例1】(1)(2019·北京卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．(2)(2019·华师大附中检测)已知点A(－2，0)，B(0，2)，若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－2，则a的值为________．解析：(1)因为抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，准线l为直线x＝－1，所以圆的圆心坐标为(1，0)．又因为圆与l相切，所以圆心到l的距离为圆的半径，所以r＝2.所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.(2)因为圆的标准方程(x－a)2＋y2＝1，圆心M(a，0)，半径r＝1，所以圆心M(a，0)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝|a＋2|2.则圆上的点到直线AB的最短距离为d－r＝|a＋2|2－1.又|AB|＝22＋22＝22，故(S△ABC)min＝12×22×|a＋2|－22＝3－2.解之得a＝1或a＝－5.答案：(1)(x－1)2＋y2＝4(2)1或－5[思维升华]1．直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2．待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．温馨提醒：解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．[变式训练](1)(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．(2)(2019·湖北四市联盟)已知圆C经过直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝4的交点，且圆C的圆心在直线2x－y－3＝0上，则圆C的方程为________．解析：(1)法1：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则F＝0，1＋1＋D＋E＋F＝0，4＋2D＋F＝0，解得D＝－2，E＝0，F＝0.故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.法2：设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，所以kOA＝1，kAB＝1－01－2＝－1，所以kOA·kAB＝－1，所以OA⊥AB，所以OB为所求圆的直径，所以圆心坐标为(1，0)，半径为1.故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.(2)设所求圆的方程为(x2＋y2－4)＋λ(x＋y＋2)＝0，则x2＋y2＋λx＋λy＋2λ－4＝0，圆心－λ2，－λ2.因为圆心在直线2x－y－3＝0上，所以－λ＋λ2－3＝0，则λ＝－6.因此圆C的方程为x2＋y2－6x－6y－16＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝34.答案：(1)x2＋y2－2x＝0(2)(x－3)2＋(y－3)2＝34热点3直线与圆的位置关系(多维探究)1．直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离．(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离．2．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种：即内含、内切、相交、外切、外离，主要利用圆心距d与两圆半径r1与r2之间的关系来解决．角度圆的切线问题【例2】(1)在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1，1)的直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a＝________．(2)(2019·衡水中学质检)已知⊙O：x2＋y2＝1，点A(0，－2)，B(a，2)，从点A观察点B，要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.－∞，－433∪433，＋∞C.－∞，－233∪233，＋∞D.－433，433解析：(1)设圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5的圆心为C(－1，2)．又点M(1，1)在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5上所以l⊥CM，kl·kCM＝－1.则kl×2－1－1－1＝－1，得kl＝2.由于切线l与直线ax＋y－1＝0垂直．所以2·(－a)＝－1，则a＝12.(2)易知点B在直线y＝2上，过点A(0，－2)作圆的切线．设切线的斜率为k，则切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0.由圆心到切线的距离d＝|0－0－2|1＋k2＝1，得k＝±3.所以切线方程为y＝±3x－2，和直线y＝2的交点坐标为分别为－433，2，433，2.故要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是－∞，－433∪433，＋∞.答案：(1)12(2)B[思维升华]1．直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．2．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．[变式训练](1)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0D．x－2y－7＝0