2020届高考数学大二轮复习 下篇 指导四 高考创新题型揭秘课件

指导四高考创新题型揭秘高考总复习大二轮数学创新型数学问题的命制是以集合、函数图象与性质、立体几何、数列、复数等常规知识为基础，并用新的背景、新的情境等进行“包装”，使平淡的数学题焕发出新的活力，充满了无穷的魅力．此类问题有利于考查考生在新情境下分析问题、解决问题的实际能力，有利于考查考生的发散性思维能力和探索、创新精神，是各级各类考试中一道亮丽的风景线．设置“新定义”“新定义”试题是指给出一个考生从未接触过的新规定、新概念，要求考生现学现用，其目的是考查考生的阅读理解能力、应变能力和创新能力，培养学生自主学习、主动探究的品质．此类问题可能以文字的形式出现，也可能以数学符号或数学表达式的形式出现，要求考生要先准确理解“新定义”的特点，再加以灵活运用．特别提醒：“给什么，用什么”是应用“新定义”解题的基本思路．[例1](2020·唐山调研)若函数exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．①f(x)＝2－x②f(x)＝3－x③f(x)＝x3④f(x)＝x2＋2[解析]设g(x)＝exf(x)．对于①，g(x)＝ex·2－x(x∈R)，g′(x)＝ex·2－x－ex·2－x·ln2＝(1－ln2)·ex·2－x＞0，∴函数g(x)在R上单调递增，故①中f(x)具有M性质．对于②，g(x)＝ex·3－x(x∈R)，g′(x)＝ex·3－x－ex·3－x·ln3＝(1－ln3)·ex·3－x＜0，∴函数g(x)在R上单调递减，故②中f(x)不具有M性质．对于③，g(x)＝ex·x3(x∈R)，g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝(x＋3)·ex·x2，当x＜－3时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，故③中f(x)不具有M性质．对于④，g(x)＝ex·(x2＋2)(x∈R)，g′(x)＝ex·(x2＋2)＋ex·2x＝(x2＋2x＋2)·ex＝[(x＋1)2＋1]·ex＞0，∴函数g(x)在R上单调递增，故④中f(x)具有M性质．综上，具有M性质的函数的序号为①④.[答案]①④解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义，然后把其转化为熟悉的数学问题求解．如本例通过对函数f(x)所具有M性质的理解，将问题转化为判定函数是否具有此性质．[活学活用1](2019·青岛三模)已知函数y＝f(x)(x∈R)．对于函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝4－x2关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)＞g(x)恒成立，则实数b的取值范围是____________．解析：由于g(x)＝4－x2的图象是圆x2＋y2＝4在x轴上方的半圆(包括与x轴的交点)，设这个半圆的一条切线方程为y＝3x＋b1，则有b132＋－12＝2，解得b1＝210，要使得h(x)＞g(x)恒成立，则需b＞b1＝210.故实数b的取值范围为(210，＋∞)．答案：(210，＋∞)设置“新运算”“新运算”是指在现有的运算法则和运算律的基础上定义的一种新的运算，是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，如“*”“⊗”“※”等，这些符号与四则运算中的加减乘除符号是不一样的．“新运算”类问题的情境一般比较陌生，求解时考生需要坦然面对，先准确理解“新运算”法则，再加以灵活运用即可解决问题．特别注意：新定义的算式在没有转化前，是不适合运用现有的运算法则和运算律进行计算的．[例2]定义一种运算“※”，对于任意n∈N*均满足以下运算性质：(1)2※2017＝1；(2)(2n＋2)※2017＝(2n)※2017＋3.则2018※2017＝________.[解析]设an＝(2n)※2017，则由运算性质(1)知a1＝1，由运算性质(2)知an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3.于是，数列{an}是等差数列，且首项为1，公差为3.故2018※2017＝(2×1009)※2017＝a1009＝1＋1008×3＝3025.[答案]3025注意到(2n)※2017与[2(n＋1)]※2017((2n＋2)※2017)结构相同，具体区别为前边是“n”，后边是“n＋1”，于是，可将它们看作某一数列的相邻两项，从而通过“换元”将不熟悉的“新运算”问题转化为熟悉的等差数列问题，这是求解本题的关键．[活学活用2]定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是()A．若a与b共线，则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2解析：B[若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确，由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．]设置“实际背景”以现实中的生活实例或最新时事为背景，考查学生的应用能力和创新意识．解决这类问题的关键，正确理解题意，建立数学模型．[例3]交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系．发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和费率浮动比率表浮动因素浮动比率A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10%A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型A1A2A3A4A5A6数量105520155(1)求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元．且各种投保类型的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商店内有6辆(车龄已满三年)该品牌二手车，某顾客欲在其内随机挑选2辆车，求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值．[解析](1)一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为15＋560＝13.(2)①由统计数据可知，该销售商店内的6辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车，设为b1，b2,4辆非事故车，设为a1，a2，a3，a4.从6辆车中随机挑选2辆车的情况有(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)，共15种．其中2辆车恰好有一辆为事故车的情况有(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，共8种．所以该顾客在店内随机挑选2辆车，这2辆车恰好有一辆事故车的概率为815.②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，所以一辆车盈利的平均值为1120[(－5000)×40＋10000×80]＝5000(元)．本例以“交强险”这一实际生活实例为背景，考查了古典概型概率的求法以及平均值的计算．[活学活用3]几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是()A．440B．330C．220D．110解析：A[设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依次类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为nn＋12.由题意可知，N＞100，令nn＋12＞100，得n≥14，n∈N*，即N出现在第13组之后．易得第n组的所有项的和为1－2n1－2＝2n－1，前n组的所有项的和为21－2n1－2－n＝2n＋1－n－2.设满足条件的N在第k＋1(k∈N*，k≥13)组，且第N项为第k＋1组的第t(t∈N*)个数，若要使前N项和为2的整数幂，则第k＋1组的前t项的和2t－1应与－2－k互为相反数，即2t－1＝k＋2，∴2t＝k＋3，∴t＝log2(k＋3)，∴当t＝4，k＝13时，N＝13×13＋12＋4＝95＜100，不满足题意；当t＝5，k＝29时，N＝29×29＋12＋5＝440；当t＞5时，N＞440，故选A.]设置“新模型”“新模型”试题指已知条件中给出具体的解题模型，需要考生将所给解题模型迁移至新情境中，对目标问题进行合理探究．着重考查考生的阅读理解能力，接受能力，应变能力和创新、探究能力．[例4]我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－2,3)且法向量为n＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化简得4x－y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B(1,2,3)且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为________________．[解析]由题意可设Q(x，y，z)为所求平面内的任一点，则根据BQ→⊥m，得BQ→·m＝0，所以(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，化简得x＋2y－z－2＝0.故所求平面方程为x＋2y－z－2＝0.[答案]x＋2y－z－2＝0本题求解的关键是具体探究所给解题过程：设P(x，y)为所求直线上的任一点，则根据AP→⊥n，得AP→·n＝0，所以4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化简得4x－y＋11＝0.类比此解题过程，即可轻松解决目标问题．[活学活用4](1)“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”说明同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识．在数学解题活动中，倘若能恰当地改变分析问题的角度，往往会有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之感．请阅读以下问题及其解答：问题：对任意a∈[－1,1]，不等式x2＋ax－2≤0恒成立，求实数x的取值范围．解析：令f(a)＝xa＋(x2－2)，则对任意的a∈[－1,1]，不等式x2＋ax－2≤0恒成立，等价于f－1＝x2－x－2≤0，f1＝x2＋x－2≤0，解得－1≤x≤1.故实数x的取值范围是[－1,1]．(2)类比上述解法，可得关于x的方程2x3－ax2－8x－(a2＋4a)＝0(a＜1)的根为____________．解析：因为2x3－ax2－8x－(a2＋4a)＝0，所