2020届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第一部分 刷考点 考点十二 数列综合问题课件 文

考点十二数列综合问题第一部分刷考点A卷一、选择题1．若数列{an}满足an＋1＋an＝(－1)n·n，则数列{an}的前20项的和为()A．－100B．100C．－110D．110答案A解析由an＋1＋an＝(－1)n·n，得a2＋a1＝－1，a3＋a4＝－3，a5＋a6＝－5，…，a19＋a20＝－19，∴{an}的前20项的和为a1＋a2＋…＋a19＋a20＝－1－3－…－19＝－1＋192×10＝－100.2．(2019·辽宁葫芦岛二模)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”．在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，{an}满足a1＝1，且an＝2an－1－1n为偶数，2an－1＋2n为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数为()A．7B．10C．12D．22答案A解析依题意a4＝2a3－1＝2(2a2＋2)－1＝2[2(2a1－1)＋2]－1＝7，故选A.3．(2019·西藏拉萨中学第二次月考)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44B．3×44＋1C．44D．44＋1答案A解析由an＋1＝3Sn得an＝3Sn－1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，则an＋1＝4an(n≥2)，又a1＝1，a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)，即a6＝3×44，故选A.4．等差数列{an}中，a1＋a2＝125，a2＋a5＝4，设bn＝[an]，[x]表示不超过x的最大整数，[0.8]＝0，[2.1]＝2，则数列{bn}的前8项和S8＝()A．24B．20C．16D．12答案C解析由已知可得2a1＋d＝125，2a1＋5d＝4⇒a1＝1，d＝25⇒an＝1＋(n－1)×25＝25n＋35⇒b1＝b2＝b3＝1，b4＝b5＝2，b6＝b7＝b8＝3⇒S8＝16.5．已知数列{an}的各项均为正数，a1＝2，an＋1－an＝4an＋1＋an，若数列1an＋1＋an的前n项和为5，则n＝()A．35B．36C．120D．121答案C解析用裂项相消法求数列的前n项和．因为an＋1－an＝4an＋1＋an，所以a2n＋1－a2n＝4，所以数列{a2n}是首项为4，公差为4的等差数列，所以a2n＝4n，因为数列{an}的各项均为正数，所以an＝2n，所以1an＋1＋an＝12×1n＋1＋n＝12×(n＋1－n)，所以Sn＝12×[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n－n－1)＋(n＋1－n)]＝12×(n＋1－1)＝5，解得n＝120，故选C.6．(2019·安徽宣城第二次调研)已知正项等比数列{an}满足a9＝a8＋2a7，若存在两项am，an，使得aman＝2a21，则1m＋4n的最小值为()A．22B．83C．3D．32答案C解析设等比数列的公比为q(q＞0)，∵a9＝a8＋2a7，∴a7q2＝a7q＋2a7，∴q2－q－2＝0，∴q＝2或q＝－1(舍去)，∵存在两项am，an使得aman＝2a21，∴a21qm－1＋n－1＝2a21，2m＋n－2＝2，m＋n－2＝1，m＋n＝3，∴1m＋4n＝13×1m＋4n(m＋n)＝13×nm＋4mn＋5≥13×9＝3，当且仅当m＝1，n＝2时等号成立．故选C.7．(2019·浙江三校联考二)已知数列{an}满足a1＝a0，an＋1＝－a2n＋tan(n∈N*)，若存在实数t，使{an}单调递增，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案A解析由{an}单调递增，得an＋1＝－a2n＋tanan，又a1＝a0，则an0，所以tan＋1(n∈N*)．n＝1时，ta＋1.①n＝2时，t－a2＋ta＋1，即(a－1)t(a＋1)(a－1)．②若a＝1，②式不成立，不符合题意；若a1，②式等价于t＜a＋1，与①式矛盾，不符合题意．排除B，C，D，故选A.8．已知数列{an}满足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且对任意n∈N*都有1a1＋1a2＋…＋1ant，则t的取值范围为()A．13，＋∞B．13，＋∞C．23，＋∞D．23，＋∞答案D解析∵数列{an}满足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2；当n≥2时，a1a2a3…an－1＝2(n－1)2，可得an＝22n－1，∴1an＝122n－1，数列1an为等比数列，首项为12，公比为14.∴1a1＋1a2＋…＋1an＝121－14n1－14＝231－14n23，∵对任意n∈N*都有1a1＋1a2＋…＋1ant，∴t的取值范围为23，＋∞.二、填空题9．(2019·河北唐山二模)各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an·an＋2＝3an＋1(n∈N*)，则a5·a2019＝________.答案27解析由an·an＋2＝3an＋1知n≥2，an－1·an＋1＝3an，两式相乘得an－1·an＋2＝9，又an＋2·an＋5＝9，得an－1＝an＋5，则数列周期为6，又a1a4＝9，则a4＝9，故a5·a2019＝a5·a6×336＋3＝a5·a3＝3a4＝27.10．已知an＝n－7n－52(n∈N*)，设am为数列{an}的最大项，则m＝________.答案8解析因为函数y＝x－7x－52在(－∞，52)，(52，＋∞)上单调递减，结合该函数图象可得a8a9…1a1a2…a7，即a8为数列{an}的最大项，故m＝8.11．(2019·湖南株洲二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝4,4Sn＝a1＋a2＋…＋an＋1(n≥1)，则an＝________.答案4n＝1，3×4n－1n≥2解析当n≥2时，由4Sn＝a1＋a2＋…＋an＋1，得4Sn－1＝a1＋a2＋…＋an，∴4Sn－4Sn－1＝an＋1，即4an＝an＋1，∴an＋1an＝4(n≥2)，又4S1＝4a1＝a1＋a2，a1＝4，∴a2＝12，∴当n≥2时，an＝12×4n－2＝3×4n－1.又a1＝4，不满足上式，所以所求通项公式为an＝4n＝1，3×4n－1n≥2.12．(2019·山东聊城三模)我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n阶幻方．记n阶幻方的对角线上的数字之和为Nn，如图三阶幻方的N3＝15，那么N9的值为________．答案369解析根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，N3＝13×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝15，N4＝14×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16)＝34，N5＝15×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22＋23＋24＋25)＝65，…，∴Nn＝1n×(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n2)＝1n×n21＋n22＝nn2＋12，故N9＝9×92＋12＝9×41＝369.三、解答题13．(2019·辽宁丹东质量测试二)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n＋1.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝14an－1，求数列{bn}的前n项和．解(1)因为an＋1＝an＋2n＋1，所以当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.由于a1＝1满足an＝n2，所以所求{an}的通项公式为an＝n2.(2)因为bn＝14n2－1＝1212n－1－12n＋1，所以数列{bn}的前n项和为Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1.14．(2019·山东烟台适应性练习)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－2(n∈N*)，{bn}是等差数列，且a3＝b4－2b1，b6＝a4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{(－1)nb2n}的前2n项和T2n.解(1)Sn＝2an－2，当n＝1时，得a1＝2，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，作差得an＝2an－1(n≥2)，所以数列{an}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以an＝2n.设等差数列{bn}的公差为d，由a3＝b4－2b1，b6＝a4，所以8＝3d－b1,16＝5d＋b1，所以d＝3，b1＝1，所以bn＝3n－2.(2)T2n＝(－b21＋b22)＋(－b23＋b24)＋…＋(－b22n－1＋b22n)＝3(b1＋b2)＋3(b3＋b4)＋…＋3(b2n－1＋b2n)＝3(b1＋b2＋…＋b2n)，又因为bn＝3n－2，则T2n＝3×2nb1＋b2n2＝3n[1＋3×(2n)－2]＝18n2－3n.B卷一、选择题1．已知数列{bn}满足b1＝1，b2＝4，bn＋2＝1＋sin2nπ2bn＋cos2nπ2，则该数列的前23项的和为()A．4194B．4195C．2046D．2047答案A解析由题意，得当n为奇数时，bn＋2＝2bn，数列为以2为公比的等比数列，当n为偶数时，bn＋2＝bn＋1，数列为以1为公差的等差数列，∴S23＝(b1＋b3＋…＋b23)＋(b2＋b4＋…＋b22)＝1－2121－2＋11×4＋11×11－12×1＝212－1＋44＋55＝4194.2．(2019·浙江金华十校模拟)等差数列{an}，等比数列{bn}，满足a1＝b1＝1，a5＝b3，则a9能取到的最小整数是()A．－1B．0C．2D．3答案B解析设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a1＝b1＝1，a5＝b3，可得1＋4d＝q2，则a9＝1＋8d＝1＋2(q2－1)＝2q2－1－1，可得a9能取到的最小整数是0，故选B.3．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分(1寸＝10分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为()A．72.4寸B．81.4寸C．82.0寸D．91.6寸答案C解析设晷影长为等差数列{an}，公差为d，a1＝130.0，a13＝14.8，则130.0＋12d＝14.8，解得d＝－9.6，∴a6＝130.0－9.6×5＝82.0，∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．4．已知数列{an}满足an＝13－an＋2n8，an－7n≤8，若对于任意的n∈N*都有anan＋1，则实数a的取值范围是()A．0，13B．0，12C．13，12D．12，1答案D解析∵对于任意的n∈N*都有anan＋1，∴数列{an}单调递减，∴13－a0，0a1，即13a1.又由题意知a9a8，即13－a×9＋2a