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考点二十二坐标系与参数方程第一部分刷考点A卷解答题1.在直角坐标系xOy中,直线l:y=x,圆C:x=-1+cosφ,y=-2+sinφ(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l与圆C的极坐标方程;(2)设直线l与圆C的交点为M,N,求△CMN的面积.解(1)将C的参数方程化为普通方程,得(x+1)2+(y+2)2=1,∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴直线l的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),圆C的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ+4=0.(2)将θ=π4代入ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ+4=0,得ρ2+32ρ+4=0,解得ρ1=-22,ρ2=-2,|MN|=|ρ1-ρ2|=2,∵圆C的半径为1,∴△CMN的面积为12×2×1×sinπ4=12.2.已知在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2t+1,y=t-1(t是参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ.(1)求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程并说明各曲线名称;(2)判断曲线C1与曲线C2的位置关系?若相交,求出弦长.解(1)由x=2t+1,y=t-1消去t得x-2y-3=0,所以曲线C1的普通方程为x-2y-3=0,是斜率为12的直线.由ρ=4cosθ两边同乘以ρ得ρ2=4ρcosθ,所以x2+y2=4x,配方得(x-2)2+y2=4,即曲线C2的普通方程为(x-2)2+y2=4,是以(2,0)为圆心,2为半径的圆.(2)由(1)知,曲线C2:(x-2)2+y2=4的圆心为(2,0),半径为2,由点到直线的距离公式得,圆心(2,0)到直线x-2y-3=0的距离为d=|2-0-3|5=552,所以曲线C1与曲线C2相交,弦长为222-552=2955.3.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是x=2cosθ,y=3sinθ(θ为参数),以射线Ox为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ-3=0.(1)求曲线C的普通方程,及直线l的参数方程;(2)求直线l与曲线C相交所得的弦AB的长.解(1)曲线C的参数方程化成普通方程为x24+y23=1,因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以l的直角坐标方程为x-y-3=0,其倾斜角为π4,过点(3,0),所以直线方程化成参数方程为x=3+tcosπ4,y=tsinπ4(t为参数,且t∈R).(2)将x=3+tcosπ4,y=tsinπ4代入x24+y23=1,得7t2+66t-6=0,Δ=(66)2-4×7×(-6)=3840,设方程的两根是t1,t2,则t1+t2=-667,t1t2=-67,所以AB=|t1-t2|=t1+t22-4t1t2=3847=867.故直线l与曲线C相交所得的弦AB的长为867.4.(2019·全国卷Ⅲ)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B2,π4,C2,3π4,D(2,π),弧AB︵,BC︵,CD︵所在圆的圆心分别是(1,0),1,π2,(1,π),曲线M1是弧AB︵,曲线M2是弧BC︵,曲线M3是弧CD︵.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=3,求P的极坐标.解(1)由题设可得,弧AB︵,BC︵,CD︵所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cosθ,ρ=2sinθ,ρ=-2cosθ,所以M1的极坐标方程为ρ=2cosθ0≤θ≤π4,M2的极坐标方程为ρ=2sinθπ4≤θ≤3π4,M3的极坐标方程为ρ=-2cosθ3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知若0≤θ≤π4,则2cosθ=3,解得θ=π6;若π4≤θ≤3π4,则2sinθ=3,解得θ=π3或θ=2π3;若3π4≤θ≤π,则-2cosθ=3,解得θ=5π6.综上,P的极坐标为3,π6或3,π3或3,2π3或3,5π6.5.(2019·河南洛阳第三次统考)已知极点与坐标原点O重合,极轴与x轴非负半轴重合,M是曲线C:ρ=2sinθ上任一点,点P满足OP→=3OM→.设点P的轨迹为曲线Q.(1)求曲线Q的平面直角坐标方程;(2)已知曲线Q向上平移1个单位后得到曲线N,设曲线N与直线l:x=-t,y=t(t为参数)相交于A,B两点,求|OA|+|OB|的值.解(1)设P(ρ,θ),∵OP→=3OM→,∴点M的极坐标为ρ3,θ,代入曲线C,得ρ3=2sinθ,即曲线Q的极坐标方程为ρ=6sinθ,∵ρ2=6ρsinθ,∴x2+y2=6y,∴x2+(y-3)2=9,∴曲线Q的平面直角坐标方程为x2+(y-3)2=9.(2)曲线Q向上平移1个单位后得到曲线N的方程为x2+(y-4)2=9.l的参数方程化为x=-22t,y=22t,两方程联立得t2-42t+7=0,∴t1+t2=42,t1t2=7,∴|OA|+|OB|=|t1|+|t2|=t1+t2=42.6.(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=1-t21+t2,y=4t1+t2(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθ+3ρsinθ+11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.解(1)因为-11-t21+t2≤1,且x2+y22=1-t21+t22+4t21+t22=1,所以C的直角坐标方程为x2+y24=1(x≠-1),l的直角坐标方程为2x+3y+11=0.(2)由(1)可设C的参数方程为x=cosα,y=2sinα(α为参数,-παπ).C上的点到l的距离为|2cosα+23sinα+11|7=4cosα-π3+117.当α=-2π3时,4cosα-π3+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为7.B卷解答题1.(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ00)在曲线C:ρ=4sinθ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当θ0=π3时,求ρ0及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.解(1)因为M(ρ0,θ0)在曲线C上,当θ0=π3时,ρ0=4sinπ3=23.由已知得|OP|=|OA|cosπ3=2.设Q(ρ,θ)为l上除P外的任意一点.连接OQ,在Rt△OPQ中,ρcosθ-π3=|OP|=2.经检验,点P2,π3在曲线ρcosθ-π3=2上,所以,l的极坐标方程为ρcosθ-π3=2.(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cosθ=4cosθ,即ρ=4cosθ.因为P在线段OM上,且AP⊥OM,所以θ的取值范围是π4,π2.所以,P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθ,θ∈π4,π2.2.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=-1+22t,y=1+22t(t为参数),圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l及圆C的极坐标方程;(2)若直线l与圆C交于A,B两点,求cos∠AOB的值.解(1)由直线l的参数方程x=-1+22t,y=1+22t得,其普通方程为y=x+2,∴直线l的极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ+2.又∵圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入并化简得ρ=4cosθ+2sinθ,∴圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ.(2)将直线l:ρsinθ=ρcosθ+2,与圆C:ρ=4cosθ+2sinθ联立,得(4cosθ+2sinθ)(sinθ-cosθ)=2,整理得sinθcosθ=3cos2θ,∴θ=π2或tanθ=3.不妨记点A对应的极角为π2,点B对应的极角为θ,且tanθ=3.于是,cos∠AOB=cosπ2-θ=sinθ=31010.3.(2019·湖北4月调研)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2+2cosα,y=2sinα(α是参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若射线θ=β0βπ2与曲线C1交于O,A两点,与曲线C2交于O,B两点,求|OA|+|OB|取最大值时tanβ的值.解(1)由x=2+2cosα,y=2sinα得x2-22x+y2=0,将x2+y2=ρ2,x=ρcosθ代入得ρ=22cosθ,故曲线C1的极坐标方程为ρ=22cosθ.由ρ=4sinθ得ρ2=4ρsinθ,将x2+y2=ρ2,y=ρsinθ代入得x2+y2=4y,故曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-4y=0.(2)设点A,B的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ2,θ),将θ=β0βπ2分别代入曲线C1,C2的极坐标方程得ρ1=22cosβ,ρ2=4sinβ,则|OA|+|OB|=22cosβ+4sinβ=26sinβ·63+cosβ·33=26sin(β+φ),其中φ为锐角,且满足sinφ=33,cosφ=63,当β+φ=π2时,|OA|+|OB|取最大值,此时β=π2-φ,tanβ=tanπ2-φ=sinπ2-φcosπ2-φ=cosφsinφ=6333=2.4.已知直线l的参数方程为x=tcosφ,y=-2+tsinφ(t为参数,0≤φπ),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=1,l与C交于不同的两点P1,P2.(1)求φ的取值范围;(2)以φ为参数,求线段P1P2中点M的轨迹的参数方程.解(1)曲线C的极坐标方程为ρ=1,根据ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1,将x=tcosφ,y=-2+tsinφ代入x2+y2=1,得t2-4tsinφ+3=0.(*)由Δ=16sin2φ-120得|sinφ|32.又0≤φπ,所以φ的取值范围是π3,2π3.(2)由(1)中的(*)可知t1+t22=2sinφ,代入x=tcosφ,y=-2+tsinφ得x=2sinφcosφ,y=-2+2sin2φ,整理得P1P2中点M的轨迹的参数方程为x=sin2φ,y=-1-cos2φφ为参数,π3φ2π3.5.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数,0≤απ),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ2=21+sin2θ.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设点M的坐标为(1,0),直线l与曲线C相交于A,B两点,求1|MA|+1|MB|的值.解(1)曲线ρ2=21+sin2θ,即ρ2+ρ2sin2θ=2,∵ρ2=x2+y2,ρsinθ=y,∴曲线C的直角坐标方程为x2+2y2=2,即x22+y2=1.(2)将x=1+tcosα,y=tsinα代入x2+2y2=2并整理得(1+sin2α)t2+2tcosα-1=0,∴t1+t2=-2cosα1+sin2α,t1·t2=-11+sin2α,∴1|MA|+1|MB|=|MA|
本文标题:2020届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第一部分 刷考点 考点二十二 坐标系与参数方程课件 理
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