2020届高考数学大二轮复习 冲刺经典专题 第一编 讲方法 第3讲 分类与整合的思想课件 文

第3讲分类与整合的思想第一编讲方法「思想方法解读」分类与整合的思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题，通过对基础问题的解答，解决原问题的思维策略．实质上就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略，使用分类与整合思想应明白这样几点：一是引起分类整合的原因；二是分类中整合的原则，不重不漏，分类标准统一；三是明确分类整合的步骤；四是将各类情况总结归纳．常见的分类整合问题有以下几种：(1)由概念引起的分类整合；(2)由性质、定理、公式的限制条件引起的分类整合；(3)由数学运算引起的分类整合；(4)由图形的不确定性引起的分类整合；(5)由参数的变化引起的分类整合．1热点题型探究PARTONE热点1公式、定理的分类整合法例1(1)(2019·开封市高三第三次模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|≤π2，且x＝－π4为f(x)的零点，x＝π4为y＝f(x)图象的对称轴，且∀x∈11π36，17π36，|f(x)|1，则ω的最大值为()A．5B．4C．3D．2答案C解析因为x＝－π4为f(x)的零点，所以－π4ω＋φ＝k1π(k1∈Z)，①因为x＝π4为y＝f(x)图象的对称轴，所以π4ω＋φ＝k2π＋π2(k2∈Z)，②①＋②，得2φ＝(k1＋k2)π＋π2，得φ＝k1＋k2π2＋π4，因为|φ|≤π2，得φ＝±π4.②－①，得π2ω＝(k2－k1)π＋π2，所以ω＝2(k2－k1)＋1＝2n＋1(n∈Z)．当ω＝5时，如果f(x)＝sin5x＋π4，令5x＋π4＝kπ＋π2，k∈Z，所以x＝kπ5＋π20，k∈Z，当k＝2时，x＝9π20∈11π36，17π36，与已知不符．如果f(x)＝sin5x－π4，令5x－π4＝kπ＋π2，k∈Z，所以x＝kπ5＋3π20，k∈Z，当k＝1时，x＝7π20∈11π36，17π36，与已知不符．当ω＝3时，如果f(x)＝sin3x＋π4，令3x＋π4＝kπ＋π2，k∈Z，所以x＝kπ3＋π12，k∈Z，当k＝1时，x＝5π12∈11π36，17π36，与已知不符．如果f(x)＝sin3x－π4，令3x－π4＝kπ＋π2，k∈Z，所以x＝kπ3＋π4(k∈Z)∉11π36，17π36，与已知相符．故选C.(2)(2019·上海市嘉定(长宁)区高三第二次质量调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝log2(x＋a)．若对于任意x∈[0,1]，都有f－x2＋tx＋12≥1－log23，则实数t的取值范围为________．答案[0,3]解析由题意，f(x)为周期为4的函数，且是奇函数.0在函数定义域内，故f(0)＝0，得a＝1，所以当0≤x≤1时，f(x)＝log2(x＋1)，当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，此时f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x＋1)，又f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)以x＝1为对称轴，且当x∈[－1,1]时，f(x)单调递增；当x∈[1,3]时，f(x)单调递减．易知当x∈[2,3]时，f(x)＝－log2(x－1)．当x∈[－1,3]时，令f(x)＝1－log23，得x＝－12或x＝52，所以在[－1,3]内，当f(x)≥1－log23时，x∈－12，52.设g(x)＝－x2＋tx＋12，若对于x∈[0,1]都有f－x2＋tx＋12≥1－log23，因为g(0)＝12∈－12，52.故g(x)∈－12，52.①当t2＜0时，g(x)在[0,1]上单调递减，故g(x)∈t－12，12⊆－12，52，得t≥0，无解．②当0≤t≤1，即0≤t2≤12时，此时gt2最大，g(1)最小，即g(x)∈t－12，t24＋12⊆－12，52.解得t∈[0,1]．③当1＜t≤2，即12＜t2≤1时，此时g(0)最小，gt2最大，即g(x)∈12，t24＋12⊆－12，52.解得t∈(1,2]．④当t＞2时，即t21，故g(x)在[0,1]上单调递增，故g(x)∈12，t－12⊆－12，52.解得t∈(2,3]．综上，t∈[0,3]．(3)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋1(n∈N*)，且a1＝1.则数列{an}的通项公式是________．答案an＝1，n＝1，12·32n－2，n≥2解析①当n＝1时，由已知可得a1＝2a2，即a2＝12a1＝12.②当n≥2时，由已知Sn＝2an＋1(n∈N*)，可得Sn－1＝2an(n≥2，n∈N*)，两式相减得an＝2an＋1－2an⇒2an＋1＝3an，即an＋1an＝32，所以数列{an}从第二项开始成一个首项为a2＝12，公比为32的等比数列，故当n≥2，n∈N*时有an＝12·32n－2.所以an＝1，n＝1，12·32n－2，n≥2.解决由概念、法则、公式引起的分类整合问题的步骤第一步：确定需分类的目标与对象，即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．1．(2019·新疆维吾尔族自治区检测)已知x∈R，sinx－3cosx＝5，则tan2x＝()A.43B.34C．－34D．－43答案A解析由sinx－3cosx＝5及sin2x＋cos2x＝1，得(5＋3cosx)2＋cos2x＝1.即5cos2x＋35cosx＋2＝0，cosx＝－255或cosx＝－55，所以当cosx＝－255时，sinx＝－55，tanx＝12，tan2x＝2×121－14＝43；当cosx＝－55时，sinx＝255，tanx＝－2，tan2x＝2×－21－4＝43.所以tan2x＝43，故选A.2．(2019·云南高三第一次统考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ABC＝2π3，BD平分∠ABC交AC于点D，BD＝2，则△ABC的面积的最小值为()A．33B．43C．53D．63答案B解析设A＝α，则0απ3，C＝π－2π3－α＝π3－α，∵∠ABC＝2π3，BD平分∠ABC交AC于点D，BD＝2，∴∠ABD＝∠CBD＝π3.在△ABD中，∠ADB＝π－π3－α＝2π3－α，由正弦定理可得ABsin2π3－α＝BDsinα，∴AB＝2sin2π3－αsinα＝2sinπ3＋αsinα.在△CBD中，∠CDB＝π3＋α，由正弦定理可得BCsinπ3＋α＝BDsinπ3－α，∴BC＝2sinπ3＋αsinπ3－α.∴△ABC的面积S＝12AB·BC·sin2π3＝34×2sinπ3＋αsinα×2sinπ3＋αsinπ3－α＝32·1＋12cos2α＋32sin2α14cos2α＋34sin2α－14＝32·22＋cos2α＋3sin2α3sin2α＋cos2α－1＝322＋63sin2α＋cos2α－1＝322＋62sin2α＋π6－1∵0απ3，∴π62α＋π65π6，∴12sin2α＋π6≤1，∴当sin2α＋π6＝1时，即α＝π6时，△ABC的面积S最小，最小值为32×(2＋6)＝43，故选B.3．已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b是12，2的等比中项，c是1,5的等差中项，则a的取值范围是________．答案(22，10)解析因为b是12，2的等比中项，所以b＝12×2＝1；因为c是1,5的等差中项，所以c＝1＋52＝3.因为△ABC为锐角三角形，①当a为最大边时，有12＋32－a2＞0，a≥3，1＋3＞a，解得3≤a＜10；②当c为最大边时，有12＋a2－32＞0，a＋1＞3，a≤3，解得22＜a≤3.由①②得22a10，所以实数a的取值范围是(22，10)．热点2位置关系的分类整合法例2(1)(2019·兰州一模)设A，B是椭圆C：x23＋y2m＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，3]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞)D．(0，3]∪[4，＋∞)答案A解析如图，设DE是椭圆的短轴，利用动态分析，或过A，D，B作圆F，根据圆周角定理，易知∠AMB≤∠ADB.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则∠ADB≥120°，所以|OB||OD|＝tan∠ODB≥tan60°＝3.当焦点在x轴上时，|OB|＝3，|OD|＝m，3m≥3，解得0m≤1；当焦点在y轴上时，|OB|＝m，|OD|＝3，m3≥3，解得m≥9.故m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)，选A.(2)已知实数x，y满足约束条件x－y≥0，x＋2y≤4，x－2y≤2，如果目标函数z＝x＋ay的最大值为163，则实数a的值为()A．3B.143C．3或143D．3或－113答案D解析先画出线性约束条件所表示的可行域，如图中阴影部分所示，目标函数化为y＝－1ax＋1az，当a0时，－1a＜0，只需目标函数截距最大．①若－12＜－1a0，即a2，最优解为A43，43，z＝43＋43a＝163，a＝3，符合题意；②若－1a＜－12，即0a2，最优解为B3，12，z＝3＋12a＝163，a＝143，不符合题意，舍去．当a0时，－1a0，只需目标函数截距最小．③若0－1a12，即a－2，最优解为C(－2，－2)，z＝－2－2a＝163，a＝－113，符合题意；④若12－1a1，即－2a－1，最优解为B3，12，此时a＝143，不符合题意，舍去．⑤若－1a1，即－1a0，最优解为B3，12，z＝3＋12a＝163，a＝143，不符合题意，舍去；综上可知实数a的值为3或－113.故选D.六类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类整合(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．1．(2019·山西太原第五中学阶段检测)若变量x，y满足约束条件x＋y≥3，x－y≥－1，2x－y≤3，且z＝ax＋3y的最小值为7，则a的值为()A．1B．2C．－2D．－1答案B解析由约束条件x＋y≥3，x－y≥－1，2x－y≤3作出可行域如图中阴影部分所示，联立方程组求得A(2,1)，B(4,5)，C(1,2)，化目标函数z＝ax＋3y为y＝－a3x＋z3.当a＞0时，由图可知，当直线y＝－a3x＋z3过A或C时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值．若过A，则2a＋3＝7，解得a＝2，符合题意；若过C，则a＋6＝7，解得a＝1不符合题意．当a＜0时，由图可知，当直线y＝－a3x＋z3过A或B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值．若过A，则2a＋3＝7，解得a＝2，不符合题意；若过B，则4a＋15