2020届高考数学大二轮复习 冲刺经典专题 第二编 讲专题 专题二 三角函数、解三角形与平面向量 第

第3讲平面向量第二编讲专题专题二三角函数、解三角形与平面向量「考情研析」1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档．2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.1核心知识回顾PARTONE1.平面向量的数量积(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.2．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔□01a＝λb(b≠0)⇔.(2)a⊥b⇔□03a·b＝0⇔.□01|a||b|·cosθ□02x1x2＋y1y2□02x1y2－x2y1＝0□04x1x2＋y1y2＝03．利用数量积求长度(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝.4．利用数量积求夹角若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.□01a·a□02x2＋y2□03x2－x12＋y2－y12□01a·b|a||b|□02x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y225．三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心⇔.(2)O为△ABC的重心⇔.(3)O为△ABC的垂心⇔.(4)O为△ABC的内心⇔.□01|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝a2sinA□02OA→＋OB→＋OC→＝0□03OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→□04aOA→＋bOB→＋cOC→＝02热点考向探究PARTTWO考向1平面向量的概念及运算例1(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若ma－nb与2a＋b共线(其中m，n∈R且n≠0)，则mn＝()A．－2B．2C．－12D.12答案A解析因为ma－nb＝(m＋2n,2m－3n)，2a＋b＝(0,7)，ma－nb与2a＋b共线，所以m＋2n＝0，即mn＝－2.故选A.(2)(2019·云南第二次统考)已知点O(0,0)，A(－1,3)，B(2，－4)，OP→＝OA→＋mAB→.若点P在y轴上，则实数m的值为()A.13B.14C.15D.16答案A解析由题意，可得OA→＝(－1,3)，AB→＝(3，－7)，所以OP→＝OA→＋mAB→＝(3m－1,3－7m)，点P在y轴上，即3m－1＝0，m＝13.故选A.(3)(2019·贵州南白中学(遵义县一中)高一联考)已知D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD→等于()A.BC→＋12BA→B．－BC→－12BA→C.BC→－12BA→D．－BC→＋12BA→答案D解析∵D是△ABC的边AB的中点，∴CD→＝12(CA→＋CB→)，CA→＝BA→－BC→，CD→＝12(BA→－BC→－BC→)＝－BC→＋12BA→.故选D.平面向量的线性运算有几何运算和坐标运算两种形式，几何运算主要是利用三角形法则和平面向量的基本定理，坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解．解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．1．(2019·四川巴中高三诊断)向量AB→＝(2,3)，AC→＝(4,7)，则BC→＝()A．(－2，－4)B．(2,4)C．(6,10)D．(－6，－10)解析BC→＝AC→－AB→＝(2,4)．故选B.答案B2．(2019·四川宜宾高三二诊)在平行四边形ABCD中，M是DC的中点，向量DN→＝2NB→，设AB→＝a，AD→＝b，则MN→＝()A.16a－23bB．－16a＋13bC.16a＋76bD.16a－13b答案A解析根据题意画图，如图所示，则DM→＝12DC→＝12AB→＝12a，DN→＝23DB→＝23(AB→－AD→)＝23AB→－23AD→＝23a－23b，∴MN→＝DN→－DM→＝23a－23b－12a＝16a－23b，故选A.3．(2019·陕西高三一模)如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC＝3BF，若OC→＝mOE→＋nOF→，其中m，n∈R，则m＋n的值为()A．1B.32C.75D.73答案C解析在平行四边形中OA→＝BC→，OB→＝AC→，OC→＝OA→＋OB→，因为E是AC的中点，所以AE→＝12AC→＝12OB→，所以OE→＝OA→＋AE→＝OA→＋12OB→，因为BC＝3BF，所以BF→＝13BC→＝13OA→，所以OF→＝OB→＋BF→＝OB→＋13OA→，因为OC→＝mOE→＋nOF→，所以OC→＝m＋13nOA→＋12m＋nOB→，在▱OACB中，OC→＝OA→＋OB→，所以m＋13n＝1，12m＋n＝1，解得m＝45，n＝35，所以m＋n＝75.故选C.考向2平面向量的数量积例2(1)(2019·辽宁鞍山一中三模)设a，b是夹角为60°的单位向量，则2a＋b和3a－2b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案B解析由题意，因为a，b是夹角为60°的单位向量，∴a·b＝|a||b|cos60°＝12，则(2a＋b)·(3a－2b)＝6a2－2b2－a·b＝6－2－12＝72，|2a＋b|＝2a＋b2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋2＋1＝7，|3a－2b|＝3a－2b2＝9a2－12a·b＋4b2＝9－12×12＋4＝13－6＝7，设2a＋b和3a－2b的夹角为α，则cosα＝2a＋b·3a－2b|2a＋b||3a－2b|＝727×7＝12，即α＝60°.故选B.(2)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是BC边上的高，则AD→·AC→＝()A．0B．4C．8D．－4答案B解析因为AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是BC边上的高，所以AD＝4sin30°＝2，所以AD→·AC→＝AD→·(AB→＋BC→)＝AD→·AB→＋AD→·BC→＝AD→·AB→＝2×4×12＝4.故选B.(3)(2019·安徽黄山高三二模)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，且a⊥(a＋2b)，则b在a方向上的投影为()A．1B．－2C.2D．－1答案D解析因为a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝0，∴4＋2a·b＝0，a·b＝－2，因此b在a方向上的投影为a·b|a|＝－1.选D.(1)向量数量积有两种不同形式的计算公式：一是夹角公式a·b＝|a||b|cosθ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2.(2)用数量积求长度的方法：|a|＝a·a；|a±b|＝a2±2a·b＋b2；若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(3)用数量积公式求夹角：cosθ＝a·b|a||b|.1．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝2，|2a－b|＝2，则|b|＝()A．23B.3C.2D．32答案A解析∵a·b＝|a||b|cos30°＝3|b|，|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝16－43|b|＋|b|2＝4，∴|b|＝23.故选A.2．(2019·贵州省南白中学(遵义县一中)高二联考)已知|AB→|＝1，|BC→|＝2，若AB→·BC→＝0，AD→·DC→＝0，则|BD→|的最大值为()A.255B．2C.5D．25答案C解析由题意可知，AB⊥BC，CD⊥AD，故四边形ABCD为圆内接四边形，且圆的直径为AC，由勾股定理可得AC＝AB2＋BC2＝5，因为BD为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，故|BD→|的最大值为5.故选C.3．如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝4，〈AB→，AC→〉＝60°，则|OA→|＝________.答案212解析因为〈AB→，AC→〉＝60°，所以AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cos60°＝1×4×12＝2.又AO→＝12(AB→＋AC→)，所以AO→2＝14(AB→＋AC→)2＝14(AB→2＋2AB→·AC→＋AC→2)，即AO→2＝14×(1＋4＋16)＝214，所以|OA→|＝212.考向3平面向量与三角函数例3(1)(2019·贵州遵义航天高级中学四模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝π4，cosA＝35，BA→·BC→＝28，则b的值为()A．3B.52C．4D．5答案D解析由题意可知，BA→·BC→＝28，∴ac＝282，在△ABC中，∵cosA＝35，∴sinA＝1－cos2A＝45，sinC＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝7210，由正弦定理可得，asinA＝bsinB＝csinC，即a45＝b22＝c7210，∴a＝425b，c＝75b，代入ac＝282中，得425b·75b＝282，得b2＝25，∴b＝5.故选D.(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设m＝2cosπ6＋A，cos2A－cos2B，n＝1，cosπ6－A，且m∥n.①求角B的值；②若△ABC为锐角三角形，且A＝π4，外接圆半径R＝2，求△ABC的周长．解①由m∥n，得cos2A－cos2B＝2cosπ6＋A·cosπ6－A，即2sin2B－2sin2A＝234cos2A－14sin2A，化简得sinB＝32，故B＝π3或2π3.②易知B＝π3，则由A＝π4，得C＝π－(A＋B)＝5π12.由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R，得a＝4sinπ4＝22，b＝4sinπ3＝23，c＝4sin5π12＝4sinπ4＋π6＝4×22×32＋12×22＝6＋2，所以△ABC的周长为6＋23＋32.平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件，通常利用向量的平行与垂直进行转化．1．(2019·安徽宣城二调)在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，P在△ABC斜边BC的中线AD上，则AP→·(PB→＋PC→)的最大值为()A.258B.52C.254D.252答案B解析以A为坐标原点，以AB→，AC→方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(0,4)，中点D(1,2)，设P(x,2x)，所以AP→＝(x,2x)，PD→＝(1－x,2－2x)，AP→·(PB→＋PC→)＝AP→·(2PD→)＝2[x(1－x)＋2x·(2－2x)]＝－10(x2－x)，当x＝12时，AP→·(PB→＋PC→)的最大值为52.故选B.2．(2019·贵州南白中学(遵义县一中)高一下学期第一次联考)已知在△ABC中，C＝2A，cosA＝34，且2BA→·CB→＝－27.(1)求cosB的值；(2)求△ABC的周长．解(1)∵C＝2A，∴cosC＝cos2A＝2cos2A－1＝18，∴sinC＝378，sinA＝74，∴cosB＝－cos(A＋C)＝sinAsinC－cosAcosC＝916.(2)∵ABsinC＝BCsinA，∴AB＝32BC，∵2BA→·CB→＝－27，cosB＝916，∴BC·AB＝24，∴BC＝4，AB＝6，∴AC＝BC2＋AB2－2BC·AB·cosB＝16＋36－2×4×6×916＝5，∴△ABC的周长为6＋5＋4＝15.3真题VS押题PARTTHREE『真题模拟』1.(2019·山西吕梁模拟)如图，|OA→|＝2，|OB→|＝2，|OC→|＝4，OA→与OB→的夹角为135°，若OC→＝λOA→＋4OB→，则λ＝()A．1B．2C．3D．4答案B解析∵|OA→|＝2，|OB→|＝2，|OC→|＝4，OA→与OB→