2020届高考数学大二轮复习 冲刺创新专题 题型1 选填题 练熟练稳 少丢分 第10讲 函数与导数课

第10讲函数与导数题型1选填题练熟练稳少丢分热点题型分析真题自检感悟专题作业[考情分析]高考对该部分内容的考查主要有两个方面：1.对导数几何意义的考查主要是求切线方程或根据切线方程求参数的取值；2.对导数综合应用的考查主要是围绕：(1)讨论、判断、证明函数的单调性；(2)利用函数的单调性求函数的极值或最值；(3)利用导数求参数的取值范围；(4)利用导数解决不等式问题及函数的零点、方程根的问题．1热点题型分析PARTONE热点题型分析真题自检感悟专题作业热点1导数的运算及几何意义1.利用导数求曲线的切线方程若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P(x0，y0)的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：①设出切点坐标P′(x1，f(x1))；②写出过P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；热点题型分析真题自检感悟专题作业③将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；④将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．热点题型分析真题自检感悟专题作业1.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y＝－2xB．y＝－xC.y＝2xD．y＝x解析因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，化简可得y＝x，故选D.答案D热点题型分析真题自检感悟专题作业2.函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是()A.(－∞，2]B．(－∞，2)C.(2，＋∞)D．(0，＋∞)答案B热点题型分析真题自检感悟专题作业解析由题意知f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．所以f′(x)＝1x＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－1x.因为x＞0，所以2－1x＜2，所以a的取值范围是(－∞，2).热点题型分析真题自检感悟专题作业3.(2019·广州调研)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为()A.ln2B．1C.1－ln2D．1＋ln2答案D热点题型分析真题自检感悟专题作业解析由y＝xlnx得y′＝lnx＋1，设切点为(x0，y0)，则k＝lnx0＋1，∵切点(x0，y0)(x00)既在曲线y＝xlnx上又在直线y＝kx－2上，∴y0＝kx0－2，y0＝x0lnx0，∴kx0－2＝x0lnx0，∴k＝lnx0＋2x0，则lnx0＋2x0＝lnx0＋1，∴x0＝2，∴k＝ln2＋1.故选D.热点题型分析真题自检感悟专题作业第1题易错点有二：一是不能利用奇函数定义正确求解a的值；二是不会利用导数几何意义求解切线斜率．第2题不能把条件与导数的几何意义联系起来，转化为存在型问题，进而求解．第3题易出现两方面的错误：一是误把点(0，－2)作为切点；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻.热点题型分析真题自检感悟专题作业热点2利用导数研究函数的性质1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)0或f′(x)0的解集；(4)由f′(x)0(f′(x)0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．热点题型分析真题自检感悟专题作业2.根据函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)若函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增，转化为f′(x)≥0在(a，b)上恒成立求解；(2)若函数y＝f(x)在(a，b)上单调递减，转化为f′(x)≤0在(a，b)上恒成立求解；(3)若函数y＝f(x)在(a，b)上单调，转化为f′(x)在(a，b)上不变号，即f′(x)在(a，b)上恒大于等于零或恒小于等于零．热点题型分析真题自检感悟专题作业3.利用导数研究函数极值与最值需注意的几点(1)求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点；(2)求函数最值时，务必将极值点与端点值比较得出最大(小)值；(3)对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论．热点题型分析真题自检感悟专题作业1.函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时的极值为0，则m，n的值为()A.m＝2，n＝9B.m＝1，n＝3C.m＝1，n＝3或m＝2，n＝9D.m＝1，n＝9答案A热点题型分析真题自检感悟专题作业解析∵f′(x)＝3x2＋6mx＋n，由题意可知f－1＝0，f′－1＝0即－1＋3m－n＋m2＝0，3－6m＋n＝0，解得m＝1，n＝3或m＝2，n＝9.当m＝1，n＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，函数f(x)在R上单调递增，无极值，舍去．当m＝2，n＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋3)(x＋1)，当x－3时，f′(x)0；当－3x－1时，f′(x)0；当x－1时，f′(x)0，所以f(x)在x＝－1处取得极小值．故选A.热点题型分析真题自检感悟专题作业2.(2019·乐山期末)若f(x)＝x2－alnx在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为()A.(－∞，1)B．(－∞，1]C.(－∞，2)D．(－∞，2]答案D热点题型分析真题自检感悟专题作业解析由f(x)＝x2－alnx，得f′(x)＝2x－ax，∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴2x－ax≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤2x2在(1，＋∞)上恒成立，∵当x∈(1，＋∞)时，2x22，∴a≤2.故选D.热点题型分析真题自检感悟专题作业第1题易由于极值概念不清而导致错误，x＝－1是f(x)的极值点⇒f′(－1)＝0，但f′(－1)＝0未必有x＝－1是f(x)的极值点，需要验证f′(x)在点x＝－1两端是否异号．第2题f(x)在(1，＋∞)上是增函数等价于f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，易漏掉f′(x)＝0的情况而出错.热点题型分析真题自检感悟专题作业热点3利用导数解决与不等式有关的问题1.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法①将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；②利用导数求该函数的最值；③根据要求得所求范围．热点题型分析真题自检感悟专题作业(2)函数思想法①将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题；②利用导数求该函数的极值(最值)；③构建不等式求解．2.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数h(x)；(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．热点题型分析真题自检感悟专题作业3.构造辅助函数的四种方法(1)移项法：证明不等式f(x)g(x)(f(x)g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数；(3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x))；(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．热点题型分析真题自检感悟专题作业已知函数f(x)＝ex＋ax－2，其中a∈R.若对于任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且x1x2，都有x2·f(x1)－x1·f(x2)a(x1－x2)成立，则a的取值范围是()A.[1，＋∞)B．[2，＋∞)C.(－∞，1]D．(－∞，2]答案D热点题型分析真题自检感悟专题作业解析由x2·f(x1)－x1·f(x2)a(x1－x2)得x2[f(x1)＋a]x1[f(x2)＋a]，即fx1＋ax1fx2＋ax2，令h(x)＝fx＋ax，则对于任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且x1x2，都有x2·f(x1)－x1·f(x2)a(x1－x2)成立，等价于当x1x2时，h(x1)h(x2)恒成立，即函数h(x)在[1，＋∞)上为增函数；h(x)＝ex＋ax－2＋ax，则h′(x)＝xex－ex＋2－ax2≥0在[1，＋∞)上恒成立．∴xex－ex＋2－a≥0，即a≤xex－ex＋2在[1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝xex－ex＋2，∴g′(x)＝xex0，∴g(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴g(x)≥g(1)＝2，∴a≤2.∴a的取值范围是(－∞，2]．故选D.热点题型分析真题自检感悟专题作业解决本题的关键(难点)是构造合适的函数，易错点有两个方面：一是对原不等式变形不到位，构造不出新函数；二是不能把题干信息合理转化为所构造新函数的相关性质进而解决问题.热点题型分析真题自检感悟专题作业热点4利用导数解决与方程的解有关的问题利用导数研究方程的解(或曲线公共点)的个数问题：(1)将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；(2)利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；(3)结合图象，根据零点的个数，寻找函数在给定区间的极值及区间端点值的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．热点题型分析真题自检感悟专题作业1.若f(x)＝ax3－3x2＋1存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为()A.(2，＋∞)B．(－∞，－2)C.(1，＋∞)D．(－∞，－1)答案B热点题型分析真题自检感悟专题作业解析解法一：由题意得a≠0，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2a，当a0时，x∈(－∞，0)，f′(x)0；x∈0，2a，f′(x)0；x∈2a，＋∞，f′(x)0；且f(0)＝10，f(x)有小于零的零点，不符合题意．当a0时，x∈－∞，2a，f′(x)0；x∈2a，0，f′(x)0；x∈(0，＋∞)，f′(x)0.要使f(x)有唯一的零点x0且x0＞0，只需f2a0，即a24，a－2.故选B.热点题型分析真题自检感悟专题作业解法二：由题意得a≠0，f(x)＝ax3－3x2＋1有唯一的正零点，等价于a＝3·1x－1x3有唯一的正根，令t＝1x，则问题又等价于a＝－t3＋3t有唯一的正根，即y＝a与y＝－t3＋3t有唯一的交点且交点在y轴右侧．记f(t)＝－t3＋3t，则f′(t)＝－3t2＋3，由f′(t)＝0，得t＝±1，当t∈(－∞，－1)时，f′(t)0；当t∈(－1,1)时，f′(t)0；当t∈(1，＋∞)时，f′(t)0.要使a＝－t3＋3t有唯一的正根，只需af(－1)＝－2，故选B.热点题型分析真题自检感悟专题作业2.若函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a可能的值为()A.4B．6C．7D．8答案A热点题型分析真题自检感悟专题作业解析由题意得f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，由f′(x)0，得x1或x2，由f′(x)0，得1x2，所以函数f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在