2020届高考数学大二轮复习 冲刺创新专题 题型1 选填题 练熟练稳 少丢分 第4讲 不等式、线性规

第4讲不等式、线性规划题型1选填题练熟练稳少丢分[考情分析]不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主．(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题．(2)不等式的相关知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，在解答题中，特别是在解析几何中利用不等式求最值、范围或在解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高．1热点题型分析PARTONE热点题型分析热点1不等式的性质及解法1.利用不等式的性质比较大小要注意特殊值法的应用．2.一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．3.简单分式不等式的解法(1)fxgx0(0)⇔f(x)g(x)0(0)；(2)fxgx≥0(≤0)⇔fxgx≥0≤0，gx≠0.1.已知ab0，给出下列四个不等式：①a2b2；②2a2b－1；③a－ba－b；④a3＋b32a2b.其中一定成立的不等式为()A.①②③B．①②④C.①③④D．②③④答案A解析解法一：由ab0可得a2b2，所以①成立；由ab0可得ab－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)f(b－1)，即2a2b－1，所以②成立；∵ab0，∴ab，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)0，∴a－ba－b，所以③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，有a3＋b32a2b，所以④不成立．故选A.解法二：令a＝3，b＝2，可以得到①a2b2，②2a2b－1，③a－ba－b均成立，而④a3＋b32a2b不成立，故选A.2.函数f(x)＝3x－x2的定义域为()A.[0,3]B.(0,3)C.(－∞，0]∪[3，＋∞)D.(－∞，0)∪(3，＋∞)解析要使函数f(x)＝3x－x2有意义，则3x－x2≥0，即x2－3x≤0⇔x(x－3)≤0，解得0≤x≤3，故选A.答案A3.不等式2x－4x－1≤1的解集为()A.{x|x1或x≥3}B．{x|1≤x≤3}C.{x|1x≤3}D．{x|1x3}答案C解析由2x－4x－1≤1，移项得2x－4x－1－1≤0，即x－3x－1≤0，∴x－3x－1≤0，x≠1，解得1x≤3，故选C.1.判断不等式是否成立，需要利用性质推理判断，也经常采用特值法进行验证或举出反例，如第1题中对于a与a－b或者a－b与0的大小判断易出错，利用不等式的性质a＞b＞0，∴a－b＞b－b＝0，即a－b＞0.2.解一元二次不等式要注意二次项系数的正负，通常先把系数化正再求解，不等式的解集要写成集合或区间的形式．如第2题易忽略二次项系数为负，由3x－x2≥0得出选项C.3.解不等式时同解变形出错，第3题易出现的问题有两个方面：一是错用不等式的性质直接把不等式化为2x－4≤x－1求解；二是同解变形过程中忽视分母不为零的限制条件，导致增解.热点2基本不等式及其应用1.利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则(1)如果x0，y0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小)(2)如果x0，y0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值14s2.(简记：和定积最大)2.利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：(1)通过变形直接利用基本不等式解决．(2)对条件变形，根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，通过“1”的代换、添项、分离常数等手段使之能运用基本不等式．常见的转化方法有：①若ax＋by＝1，则mx＋ny＝(mx＋ny)·1＝(mx＋ny)·ax＋by≥ma＋nb＋2mnab(字母均为正数)；②x＋bx－a＝x－a＋bx－a＋a≥a＋2b(xa，b0)．1.下列结论正确的是()A.当x0且x≠1，lgx＋1lgx≥2B.1x2＋11(x∈R)C.当x0时，x＋1x≥2D.当0x≤2时，x－1x无最大值答案C解析对于A，当0x1时，lgx0，不等式不成立；对于B，当x＝0时，有1x2＋1＝1，不等式不成立；对于C，当x0时，x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1时等号成立；对于D，当0x≤2时，y＝x－1x单调递增，所以当x＝2时，取得最大值，最大值为32.故选C.2.已知0x1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．解析x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·3x＋4－3x22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号．所以x(4－3x)的最大值为43，取得最大值时x的值为23.答案233.设x－1，则函数y＝x＋5x＋2x＋1的最小值为________．答案9解析∵x－1，∴x＋10，∴y＝x＋5x＋2x＋1＝x2＋7x＋10x＋1＝x＋12＋5x＋1＋4x＋1＝x＋1＋4x＋1＋5≥2x＋1·4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时取“＝”(由于x－1，故x＝－3舍去)，∴y＝x＋5x＋2x＋1的最小值为9.4.(2018·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．答案9解析由题意可知，S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120°＝12a×1×sin60°＋12c×1×sin60°，化简得ac＝a＋c，1a＋1c＝1，因此4a＋c＝(4a＋c)1a＋1c＝5＋ca＋4ac≥5＋2ca·4ac＝9，当且仅当c＝2a＝3时取等号，则4a＋c的最小值为9.1.利用均值不等式求解最值时，要注意三个条件，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三等——能取到使等号成立的值”，这三个条件缺一不可．2.第2题易出错的地方是：不会“凑”，不能根据函数解析式的特征适当变形凑出两式之和为定值；第3题是分子展开后不能变形凑出两式之积为定值．第4题利用“1”的代换或配凑使和为定值或积为定值时，代数式的变形要注意保持等价.热点3简单的线性规划问题1.解决线性规划问题的一般步骤(1)画出可行域；(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；(3)求出目标函数的最大值和最小值．2.常见代数式的几何意义(1)z＝Ax＋By表示与直线y＝－ABx＋zB在y轴上的截距zB成比例的数；(2)z＝(x－a)2＋(y－b)2区域内动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方；(3)z＝y－bx－a表示区域内动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率．3.求解线性规划中含参问题的基本方法(1)首先把不含参数的平面区域确定好；(2)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．4.解线性规划应用问题的一般步骤(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．题型1已知约束条件，求目标函数的最值1.(2019·全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件2x＋3y－6≥0，x＋y－3≤0，y－2≤0，则z＝3x－y的最大值是________．答案9解析作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．由x＋y－3＝0，2x＋3y－6＝0，解得x＝3，y＝0，即C点坐标为(3,0)，故zmax＝3×3－0＝9.2.(2019·晋城一模)若x，y满足约束条件x－y＋2≥0，x＋y－4≤0，y≥2，则z＝x2＋y2－4x－6y＋13的最小值为________．答案12解析画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，由于z＝x2＋y2－4x－6y＋13＝(x－2)2＋(y－3)2，故z表示可行域内的点A(x，y)与定点P(2,3)间距离的平方，即z＝|PA|2.由图形可得|PA|的最小值即为点P(2，3)到直线x＋y－4＝0的距离d＝|2＋3－4|2＝22，所以zmin＝d2＝12.第1、2题易错在不能准确把握目标函数z的几何意义而不知如何变形.题型2已知目标函数的最值求参数1.(2019·华南师大附中一模)已知a0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥ax－3，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A.12B.13C．1D．2答案A解析由约束条件画出可行域(如图所示三角形及其内部)．由x＝1，y＝ax－3得B(1，－2a)．当直线2x＋y－z＝0过点B时，z＝2x＋y取得最小值，所以1＝2×1－2a，解得a＝12，故选A.2.已知x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y≤2，y≥0，若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝()A.3B．2C．－2D．－3答案B解析不等式组x－y≥0，x＋y≤2，y≥0在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示，若z＝ax＋y的最大值为4，则y＝－ax＋z截距的最大值为4.①若a0，则不满足条件；②若a0，当－a－1，即a1时，x＝2，y＝0是最优解，此时a＝2；当－a－1，即0a1时，x＝1，y＝1是最优解，此时a＝31(舍)．故选B.第1题易在分析动直线的位置时出错，忽略直线y＝a(x－3)恒过定点(3,0)而不好确定可行域；第2题需明确目标函数中z与直线y＝－ax＋z截距最值相同，易忽视关于a的正负讨论而漏解或错解.题型3线性规划的实际应用(2019·黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时．现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________.答案600解析设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元，则得4x＋y≤10，18x＋15y≤66，3x＋y≤9，x≥0，y≥0.即4x＋y≤10，6x＋5y≤22，3x＋y≤9，x≥0，y≥0.目标函数z＝200x＋100y.作出可行域(如图阴影部分所示)．当直线z＝200x＋100y经过可行域上点B时，z取得最大值．解方程组4x＋y＝10，6x＋5y＝22，得点B的坐标(2,2)，故zmax＝200×2＋100×2＝600.1.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得．2.在解决线性规划的应用问题时要注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等.2真题自检感悟PARTTWO1.(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A.abcB．acbC.cabD．bca解析因为a＝log20.20，b＝20.21,0c＝0.20.31，所以bca.故选B.答案B2.(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件2x＋3y－3≤0，2x－3y＋3≥0，y＋3≥0，则z＝2x＋y的最小值是()A.－15B．－9C．1D．9