2020届高考数学大二轮复习 层级二 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线的方程性质及与弦有关的问题课

第2讲圆锥曲线的方程性质及与弦有关的问题高考总复习大二轮数学[考情考向·高考导航]圆锥曲线是高考的重点和热点，是高考中每年必考的内容．主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容．对圆锥曲线方程与性质的考查，以选择题、填空题为主，对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常与其他知识交汇命题，多以解答题的形式出现．[真题体验]1．(2019·全国Ⅱ卷)若拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8解析：D[由椭圆x23p＋y2p＝1，知半焦距c＝3p－p＝2p，∴2p＝p2，∴p＝8.]2．(2019·全国Ⅱ卷)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.2B.3C．2D.5解析：A[以OF为直径的圆为x－c22＋y2＝c24，即x2＋y2－cx＝0，与圆x2＋y2＝a2相减得直线PQ的方程为x＝a2c，由勾股定理得：|PQ|2＝a2－a4c2＝abc，∴|PQ|＝2abc＝c，∴2ab＝c2，平方得：4a2b2＝c4，∴4a2(c2－a2)＝c4，化简得：e4－4e2＋4＝0，∴e2＝2，即e＝2.]3．(2018·全国Ⅱ卷)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14解析：D[如图直线AP的方程为y＝36(x＋a)，①直线PF2的方程为y＝3(x－c)，②①与②联立解得：x＝a＋6c5，y＝35(a＋c)，∴Pa＋6c5，35a＋c，∴|PF2|＝a＋6c5－c2＋325a＋c2＝25(a＋c)，又∵|PF2|＝|F1F2|，∴25(a＋c)＝2c，∴a＝4c，∴e＝ca＝14.]4．(2018·全国Ⅲ卷)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.解析：设直线AB的方程为y＝k(x－1)，由y2＝4xy＝kx－1得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝2k2＋4k2，x1·x2＝1.∵∠AMB＝90°，∴kMA·kMB＝－1解y1－1x1＋1·y2－1x2＋1＝－1.化简得k2－4k＋4＝0，解得k＝2.答案：2[主干整合]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)拋物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；(3)拋物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0)．3．圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝ca＝1－b2a2.②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝ca＝1＋b2a2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±bax，焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)．②双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±abx，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．(3)拋物线的焦点坐标与准线方程①拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点Fp2，0，准线方程x＝－p2.②拋物线x2＝2py(p＞0)的焦点F0，p2，准线方程y＝－p2.4．弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入．即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2.(2)过拋物线焦点的弦长拋物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.热点一圆锥曲线的定义与标准方程[例1](1)(2018·天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1，(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点．设A、B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y29＝1D.x29－y23＝1[解析]C[设双曲线的右焦点坐标为F(c,0)(c＞0)，则xA＝xB＝c，由c2a2－y2b2＝1可得：y＝±b2a，不妨设：Ac，b2a，Bc，－b2a，双曲线的一条渐近线方程为：bx－ay＝0，据此可得：d1＝|bc－b2|a2＋b2＝bc－b2c，d2＝|bc＋b2|a2＋b2＝bc＋b2c，则d1＋d2＝2bcc＝2b＝6，则b＝3，b2＝9，双曲线的离心率：e＝ca＝1＋b2a2＝1＋9a2＝2，据此可得：a2＝3，则双曲线的方程为x23－y29＝1.](2)(2020·太原模拟)已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a＞0)的左、右焦点，P是拋物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则拋物线的准线方程为____________．[解析]由题意得拋物线的焦点与双曲线的右焦点(2a,0)重合．联立3x2－y2＝3a2，y2＝8ax，消去y得3x2－8ax－3a2＝0，解得xP＝3a(负舍)．由点P在双曲线上得|PF1|－|PF2|＝2a，又因为|PF1|＋|PF2|＝12，所以|PF2|＝6－a，又因为点P在拋物线上，所以|PF2|＝3a＋2a＝5a＝6－a，解得a＝1，所以拋物线的准线方程为x＝－2a＝－2.[答案]x＝－2圆锥曲线定义及标准方程的关注点1．圆锥曲线的定义是根本，“回归定义”是一种重要的解题策略．对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，拋物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化．2．当焦点位置无法确定时，拋物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn＞0)．3．注意数形结合，提倡画出合理草图．(1)(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1解析：B[由已知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a.又|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，∴|BF2|＝12a，|AF2|＝|AF1|＝a，|BF1|＝32a.又|F1F2|＝2.∴a2＋4－a22·2a＝－14a2＋4－94a22×2·12a解得a2＝3，∴b2＝2.∴椭圆C的方程为x23＋y22＝1.选B.](2)(2020·龙岩质检)已知以圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为焦点的拋物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是拋物线C2：x2＝8y上任意一点，BM与直线y＝－2垂直，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为()A．1B．2C．－1D．8解析：A[因为圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为C(1,0)，所以可得以C(1,0)为焦点的拋物线方程为y2＝4x，由y2＝4x，x－12＋y2＝4，解得A(1,2)．拋物线C2：x2＝8y的焦点为F(0,2)，准线方程为y＝－2，即有|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|＝1，当且仅当A，B，F(A在B，F之间)三点共线时，可得最大值1.]热点二圆锥曲线的几何性质数学运算素养数学运算——圆锥曲线的性质与不等式综合中的核心素养以学习过的圆锥曲线和不等式相关知识为基础，通过将已知条件代数化，并进行一系列的数学运算，从而解决问题.[例2](1)(2019·长沙二模)设F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，若在直线x＝a2c上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是()A.0，22B.0，33C.22，1D.33，1[解析]D[设Pa2c，y，线段F1P的中点Q的坐标为b22c，y2，y2＝a2＋c2·2c2－b2c2，y2≥0.但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b2＞0，即3c2－a2＞0，即e2＞13，故33＜e＜1.当不存在时，b2－2c2＝0，y＝0，此时F2为中点，即a2c－c＝2c，得e＝33，综上，得33≤e＜1，即所求的椭圆离心率的取值范围是33，1.故选D.](2)(2020·石家庄模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2c，直线l过点23a，0且与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M，N两点，若|MN|＝423c，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±3xC．y＝±2xD．y＝±4x[解析]B[由题意可设渐近线方程为y＝bax，则直线l的斜率kl＝－ab，直线方程为y＝－abx－23a，整理可得ax＋by－23a2＝0.焦点(c,0)到直线的距离d＝ac－23a2a2＋b2＝ac－23a2c，则弦长为2c2－d2＝2c2－ac－23a22c2＝423c，整理可得c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0，即e4－9e2＋12e－4＝0，分解因式得(e－1)(e－2)(e2＋3e－2)＝0.又双曲线的离心率e＞1，则e＝ca＝2，又ba＝e2－1＝3，∴双曲线的渐近线方程为y＝±3x.故选B.](1)求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求ca的值；在双曲线中由于e2＝1＋ba2，故双曲线的渐近线与离心率密切相关．(2)圆锥曲线的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，有－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1等，在求与圆锥曲线有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系．(1)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.2B．2C.322D．22解析：D[∵e＝ca＝1＋b2a2＝2.∴ba＝±1.∴双曲线C的渐近线方程为x±y＝0，∴点(4,0)到C的渐近线的距离d＝41＋1＝22.故答案选D.](2)(2018·北京卷改编)已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，双曲线N：x2m2－y2n2＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________．解析：设椭圆的右焦点为F(c，0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意