2020高考数学二轮总复习 第1部分 层级3 专题1 圆锥曲线中的综合问题 第1讲 圆锥曲线中的定点

第一部分高考层级专题突破层级三2个压轴大题巧取高分专题一圆锥曲线中的综合问题第一讲圆锥曲线中的定点、定值问题栏目导航感悟真题题型突破课时跟踪检测1．(2019·全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解：(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.2．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝x22，D为直线y＝－12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E0，52为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．解：(1)证明：设Dt，－12，A(x1，y1)，则x21＝2y1.因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故y1＋12x1－t＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点0，12.(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋12.由y＝tx＋12，y＝x22可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝1＋t2|x1－x2|＝1＋t2×x1＋x22－4x1x2＝2(t2＋1)．设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝t2＋1，d2＝2t2＋1.因此，四边形ADBE的面积S＝12|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3)t2＋1.设M为线段AB的中点，则Mt，t2＋12.因为EM→⊥AB→，而EM→＝(t，t2－2)，AB→与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝42.因此，四边形ADBE的面积为3或42.明考情1．解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．2．定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题．题型一定点问题|析典例|【例】(2019·河北唐山联考)已知F为抛物线E：y2＝4x的焦点，过点P(0,2)作两条互相垂直的直线m，n，直线m交E于不同的两点A，B，直线n交E于不同的两点C，D，记直线m的斜率为k.(1)求k的取值范围；(2)设线段AB，CD的中点分别为点M，N，证明：直线MN过定点Q(2,0)．[解](1)由题设可知k≠0，所以直线m的方程为y＝kx＋2，与y2＝4x联立，整理得ky2－4y＋8＝0.①由Δ1＝16－32k0，解得k12.直线n的方程为y＝－1kx＋2，与y2＝4x联立，整理得y2＋4ky－8k＝0，由Δ2＝16k2＋32k0，解得k0或k－2.所以k≠0，k12，k0或k－2，故k的取值范围为kk－2或0k12.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．由①得，y1＋y2＝4k，则y0＝2k，x0＝2k2－2k，则M2k2－2k，2k.同理可得N(2k2＋2k，－2k)．直线MQ的斜率kMQ＝2k2k2－2k－2＝－kk2＋k－1，直线NQ的斜率kNQ＝－2k2k2＋2k－2＝－kk2＋k－1＝kMQ，所以直线MN过定点Q(2,0)．|规律方法|动线过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk＋n，得y－n＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，n)．(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．|练题点|(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→＝2NM→.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP→·PQ→＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，NP→＝(x－x0，y)，NM→＝(0，y0)．由NP→＝2NM→，得x0＝x，y0＝22y.因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以x22＋y22＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ→＝(－3，t)，PF→＝(－1－m，－n)，OQ→·PF→＝3＋3m－tn，OP→＝(m，n)，PQ→＝(－3－m，t－n)．由OP→·PQ→＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以OQ→·PF→＝0，即OQ→⊥PF→.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.题型二定值问题|析典例|【例】(2019·东河区校级一模)过点P1，32的椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，其离心率e＝12.(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且与y轴交于一点M(不是原点)，MA→＝λ1AF→，MB→＝λ2BF→，证明：λ1＋λ2为定值．[思路分析]第(1)问：求什么，如何想求椭圆方程想到待定系数法列出a，b，c方程组可求给什么，如何用已知过点P及e，可代入建立方程组求解第(2)问：求什么，如何想证明λ1＋λ2为定值，想到建立λ1，λ2与x1，y1，x2，y2关系后化简给什么，如何用给出MA→＝λ1AF→，MB→＝λ2BF→，可利用向量坐标运算建立λ1，λ2与A、B坐标的等量关系[规范解答](1)解方程组1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2－b2＝c2，解得a＝2，b＝3，∴椭圆C的方程是x24＋y23＝1.(2)证明：F(1,0)，由题意可知直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为x＝my＋1，则M0，－1m，∴MA→＝x1，y1＋1m，AF→＝(1－x1，－y1)，MB→＝x2，y2＋1m，BF→＝(1－x2，－y2)．∵MA→＝λ1AF→，MB→＝λ2BF→，∴y1＋1m＝－λ1y1，y2＋1m＝－λ2y2，∴λ1＝－1－1my1，λ2＝－1－1my2，∴λ1＋λ2＝－2－1my1－1my2＝－2－y1＋y2my1y2.联立方程组x24＋y23＝1，x＝my＋1，消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，∴y1＋y2＝－6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4，∴λ1＋λ2＝－2－y1＋y2my1y2＝－2－23＝－83.|规律方法|求圆锥曲线中定值问题常用的方法(1)引起变量法：其解题流程为变量→选择适当的量为变量↓函数→把要证明为定值的量表示成上述变量的函数↓定值→把得到的函数化简，消去变量得到定值(2)特例法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．|练题点|1．(2019·驻马店模拟)已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(ab0)的短轴长为2，且椭圆C的离心率为22.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求证：1|AB|＋1|CD|为定值．解：(1)由题意可知2b＝2，b＝1，又椭圆离心率为22，则a＝2，故椭圆C的方程为y22＋x2＝1.(2)证明：当直线AB的斜率不存在或为零时，1|AB|＋1|CD|＝324，当直线AB的斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx＋1，y22＋x2＝1消y得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，∴x1＋x2＝－2kk2＋2，x1x2＝－1k2＋2，∴|AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝22k2＋1k2＋2，同理可得|CD|＝22k2＋12k2＋1，∴1|AB|＋1|CD|＝k2＋222k2＋1＋2k2＋122k2＋1＝3k2＋122k2＋1＝324.2．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解：(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝3c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(3＋1)c，故C的离心率为e＝ca＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当12|y|·2c＝16，yx＋c·yx－c＝－1，x2a2＋y2b2＝1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②x2a2＋y2b2＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝b4c2.又由①知y2＝162c2，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝a2c2(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥42.当b＝4，a≥42时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞)．