2020高考数学二轮总复习 第1部分 层级2 专题3 数列 第1讲 等差数列与等比数列课件 理

第一部分高考层级专题突破层级二7个能力专题师生共研专题三数列第一讲等差数列与等比数列栏目导航感悟真题考点突破课时跟踪检测1．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝12n2－2n解析：选A设首项为a1，公差为d.由S4＝0，a5＝5可得a1＋4d＝5，4a1＋6d＝0，解得a1＝－3，d＝2.所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋nn－12×2＝n2－4n.故选A．2．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．2解析：选C由题意知a10，q0，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝15，a1q4＝3a1q2＋4a1，解得a1＝1，q＝2，∴a3＝a1q2＝4.故选C．3．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12解析：选B设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得33a1＋3×3－12d＝2a1＋2×2－12d＋4a1＋4×4－12d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B．4．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝34，则S4＝________.解析：设等比数列的公比为q，则an＝a1qn－1＝qn－1.∵a1＝1，S3＝34，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝34，即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－12，∴S4＝1×1－－1241－－12＝58.答案：585．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝1－－2n3.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.6．(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式．解：(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn)．又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，an＋bn＝12n－1，an－bn＝2n－1，所以an＝12[(an＋bn)＋(an－bn)]＝12n＋n－12，bn＝12[(an＋bn)－(an－bn)]＝12n－n＋12.明考情等差数列与等比数列是高考必考内容，主要考查以下几个方面：(1)等差、等比数列通项的性质的应用，主要包括利用等差、等比数列通项的性质求指定项、公差或公比．(2)利用等差、等比数列前n项和性质求和．(3)数列的单调性及应用，主要包括与等差数列、等比数列的单调性有关的问题．常考查“二小”或“一小一大”，难度中等偏下，解答题放在第1个解答题位置.考点一等差、等比数列的基本量的运算|析典例|【例】(1)(一题多解)(2019·广东六校第一次联考)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5＝2S4，a2＋a4＝8，则a5＝()A．6B．7C．8D．10(2)(一题多解)(2019·四省八校联考)在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则15a4＝()A．－1B．0C．1D．2(3)(一题多解)(2019·长春市高三第一次质量监测)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31B．32C．63D．64[解析](1)解法一：设等差数列{an}的公差为d，由题意，得5a1＋5×42d＝24a1＋4×32d，a1＋d＋a1＋3d＝8，解得a1＝－2，d＝3.故a5＝a1＋4d＝－2＋12＝10，故选D．解法二：因为S5＝2S4，所以a5＝S5－S4＝S4＝12S5.因为a1＋a5＝a2＋a4＝8，所以S5＝a1＋a5×52＝8×52＝20，所以a5＝12S5＝12×20＝10，故选D．(2)解法一：设数列{an}的公差为d(d≠0)，由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a1＋2d)＋(a1＋10d)－3(a1＋4d)＝10，即a1＋3d＝5，故a4＝5，所以15a4＝1，故选C．解法二：设数列{an}的公差为d(d≠0)，因为an＝am＋(n－m)d，所以由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a4－d)＋(a4＋7d)－3(a4＋d)＝10，整理得a4＝5，所以15a4＝1，故选C．解法三：由等差数列的性质，得2a7＋3a3－3a5＝10，所以4a5＋a3－3a5＝10，即a5＋a3＝10，则2a4＝10，即a4＝5，所以15a4＝1，故选C．(3)解法一：在等比数列{an}中，S2，S4－S2，S6－S4也成等比数列，故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，则(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63.故选C．解法二：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.若q＝1，则有Sn＝na1，显然不符合题意，故q≠1.由已知可得S2＝a11－q21－q＝3，S4＝a11－q41－q＝15，两式相除得1＋q2＝5，解得q2＝4.故q＝2或q＝－2.若q＝2，代入解得a1＝1，此时S6＝a11－q61－q＝1×1－261－2＝63.若q＝－2，代入解得a1＝－3，此时S6＝a11－q61－q＝－3×[1－－26]1－－2＝63.故选C．解法三：因为数列{an}为等比数列，若q＝1，则有Sn＝na1，显然不符合题意，故q≠1.设其前n项和为Sn＝Aqn－A.由题意可得S2＝A×q2－A＝3，S4＝A×q4－A＝15，两式相除得1＋q2＝5，解得q2＝4.代入解得A＝1.故Sn＝qn－1.所以S6＝q6－1＝(q2)3－1＝43－1＝63，故选C．解法四：设等比数列的公比为q.则S2＝a1＋a2＝3，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋q2)(a1＋a2)＝(1＋q2)×3＝15，解得q2＝4.故S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(1＋q2＋q4)(a1＋a2)＝(1＋4＋42)×3＝63.故选C．[答案](1)D(2)C(3)C|规律方法|等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量a1和公差d(公比q)．(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，求出a1和d(q)后代入相应的公式计算．[提醒]①解决等差(比)数列基本运算的问题时，要注意等差(比)数列性质的应用．②注意整体思想，如在与等比数列前n项和有关的计算中，两式相除就是常用的计算方法，整体运算可以有效简化运算．|练题点|1．(2019·东北三校联考)已知数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b2＝12，则a8＝()A．0B．－109C．－181D．121解析：选B设等差数列{bn}的公差为d，则d＝b3－b2＝－14，因为an＋1－an＝bn，累加得a8－a1＝b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋b72＝72[(b2－d)＋(b2＋5d)]＝－112，又a1＝3，则a8＝－109.2．等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()A．13B．－13C．19D．－19解析：选C由题知公式q≠1，则S3＝a11－q31－q＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝19，故选C．3．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则S10S5＝________.解析：由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1，所以S10＝10a1＋10×92d＝100a1，S5＝5a1＋5×42d＝25a1，所以S10S5＝4.答案：44．(创新题)(2019·长春模拟)《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金菙(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金菙重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”答案是________．解析：由题意可知等差数列中a1＝4，a5＝2，则S5＝a1＋a5×52＝4＋2×52＝15，∴金杖重15斤．答案：15斤考点二等差数列、等比数列的综合问题|析典例|【例】(2019·贵阳模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q0，a1＋a2＝4，a3－a2＝6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若对任意的n∈N*，kan，Sn，－1都成等差数列，求实数k的值．[解](1)∵a1＋a2＝4，a3－a2＝6，∴a11＋q＝4，a1q2－q＝6，∵q0，∴q＝3，a1＝1.∴an＝1×3n－1＝3n－1，故数列{an}的通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)知an＝3n－1，Sn＝1×1－3n1－3＝3n－12，∵kan，Sn，－1成等差数列，∴2Sn＝kan－1，即2×3n－12＝k×3n－1－1，解得k＝3.|规律方法|等差、等比数列的综合问题的解题技巧将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．|练题点|数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．(1)求{an}的通项公式；(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.解：(1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝2an，则an＋1＝3an(n≥2)．因为a1＝S1＝1，a2＝2S1＋1＝3，所以a2＝3a1.故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1.(2)设等差数列{bn}的公差为d.由T3＝15，即b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，故b1＝5－d，b3＝5＋d.又a1＝1，a2＝3，a3＝9，且由a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列可得(1＋5－d)(9＋5＋d)＝(3＋5)2，解得d＝2或d＝－10.因为等差数列{bn}的各项为正，所以d0，所以d＝2，b1＝3，所以Tn＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n.考点三等差数列、等比数列的判断与证明|析典例|【例】(2019·贵州适应性考试)已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；(2)证明：数列ann是等差数列，并求{an}的通项公式．[解](1)由已知得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.(2)证明：由已知nan＋1