2020高考数学二轮总复习 第1部分 层级2 专题1 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数与方程课

第一部分高考层级专题突破层级二7个能力专题师生共研专题一函数与导数第二讲基本初等函数、函数与方程栏目导航感悟真题考点突破课时跟踪检测1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．abcB．acbC．cabD．bca解析：选B因为a＝log20.20，b＝20.21,0c＝0.20.31，所以bca.故选B．2．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝243，b＝425，c＝2513，则()A．bacB．abcC．bcaD．cab解析：选A因为a＝243＝1613，b＝425＝1615，c＝2513，且幂函数y＝x13在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以bac.3．(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为()A．2B．3C．4D．5解析：选B令f(x)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinxcosx＝0，∴2sinx(1－cosx)＝0，∴sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0,2π]，∴由sinx＝0得x＝0，π或2π，由cosx＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．故选B．4．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x3y5zB．5z2x3yC．3y5z2xD．3y2x5z解析：选D设2x＝3y＝5z＝k1，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝2logk2－3logk3＝2logk3－3logk2logk2·logk3＝logk32－logk23logk2·logk3＝logk98logk2·logk30，∴2x3y；∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝3logk3－5logk5＝3logk5－5logk3logk3·logk5＝logk53－logk35logk3·logk5＝logk125243logk3·logk50.∴3y5z；∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝2logk2－5logk5＝2logk5－5logk2logk2·logk5＝logk52－logk25logk2·logk5＝logk2532logk2·logk50，∴5z2x.∴5z2x3y，故选D．5．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)解析：选C令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a恰过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C．明考情1．基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第5～11题的位置，有时难度较大．2．函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难．考点一基本初等函数的图象与性质|多角探明|命题角度一基本初等函数的图象及应用【例1】(1)(2019·武汉华中师大附中诊断)已知函数f(x)＝2x，x≤1，log12x，x1，则f(1－x)的大致图象是()(2)已知∀x∈0，13，8x≤logax＋1恒成立，则实数a的取值范围是()A．0，23B．0，12C．13，1D．12，1[解析](1)画出函数f(x)＝2x，x≤1，log12x，x1的图象(图略)，可知f(1－x)的图象与函数f(x)的图象关于直线x＝12对称，利用对称性即可求得选项D正确．(2)令f(x)＝8x，g(x)＝logax＋1，由当x∈0，13时，f(x)≤g(x)恒成立知，当x∈0，13时，f(x)的图象一定在g(x)的图象的下方，作出函数y＝f(x)和y＝g(x)的大致图象，如图所示．由图可知0a1，loga13＋1≥813，解得13≤a1.[答案](1)D(2)C命题角度二大小比较【例2】(1)(一题多解)已知实数a＝log23，b＝132，c＝log13130，则它们的大小关系为()A．acbB．cabC．abcD．bca(2)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则()A．abcB．acbC．cabD．cba[答案](1)B(2)C[解析](1)解法一：由对数函数的性质知1a＝log232，c＝log13130log13127＝32，又b＝132＝191，从而cab.故选B．解法二：作出函数f(x)＝log2x，g(x)＝13x，h(x)＝log13x的大致图象(图略)，由图象易知h130f(3)g(2)，即cab.故选B．(2)函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，则m＝0，故f(x)＝2|x|－1，a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2log25－1＝4，c＝f(0)＝20－1＝0.所以cab，故选C．|规律方法|基本初等函数的图象与性质的应用技巧1．对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a1和0a1两种情况讨论：当a1时，两函数在定义域内都为增函数；当0a1时，两函数在定义域内都为减函数．2．由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．|全练题点|1．(2019·洛阳模拟)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()A．cbaB．bcaC．acbD．abc解析：选D因为a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，因为log32log52log72，所以abc，故选D．2．(2019·惠州市一调)若函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a0，且a≠1)，且f(2)g(2)0，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象是()解析：选A由题意知f(x)＝ax－2是指数形函数，g(x)＝loga|x|是对数型函数，且是一个偶函数，由f(2)g(2)0，可得g(2)0，故loga20，故0a1，由此可以确定C、D两选项不正确；且f(x)＝ax－2是一个减函数，由此可知B选项不正确，A选项正确，故选A．3．(2019·全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－89，则m的取值范围是()A．(－∞，94]B．(－∞，73]C．(－∞，52]D．(－∞，83]解析：选B∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)，∴当x∈(0,1]时，f(x)∈－14，0.∵f(x＋1)＝2f(x)，∴当x∈(－1,0]时，x＋1∈(0,1]，f(x)＝12f(x＋1)＝12(x＋1)x，f(x)∈－18，0；当x∈(－2，－1]时，x＋1∈(－1,0]，f(x)＝12f(x＋1)＝14f(x＋2)＝14(x＋2)(x＋1)，f(x)∈－116，0；…；当x∈(1,2]时，x－1∈(0,1]，f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)，f(x)∈－12，0；当x∈(2,3]时，x－1∈(1,2]，f(x)＝2f(x－1)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)，f(x)∈[－1,0]；….f(x)的图象如图所示．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－89，则有2m3.设f(m)＝－89，则4(m－2)(m－3)＝－89，∴m＝73或m＝83.结合图象可知，当m≤73时，符合题意．故选B．考点二函数与方程|多角探明|命题角度一确定函数零点的个数或存在区间【例1】(1)(一题多解)函数f(x)＝x2＋x－2，x≤0，－1＋lnx，x0的零点个数为()A．3B．2C．7D．0(2)(一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[解析](1)解法一：(直接法)由f(x)＝0得x≤0，x2＋x－2＝0或x0，－1＋lnx＝0，解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．解法二：(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．(2)解法一：(定理法)函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－10，f(2)＝log320，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内．解法二：(图象法)函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B．[答案](1)B(2)B|规律方法|函数零点所在区间的判断方法及适用情形方法含义适用情形定理法利用函数的零点存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象解方程法可先解对应方程，然后看所求的根是否落在给定区间上当对应方程f(x)＝0易解时命题角度二根据函数的零点求参数值或范围【例2】(1)函数f(x)＝lnx－x－a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞)D．(－1，＋∞)(2)(一题多解)(2019·银川一模)已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是________．[解析](1)因为函数f(x)＝lnx－x－a有两个不同的零点，所以关于x的方程lnx－x－a＝0有两个不同的实根，将方程lnx－x－a＝0化为方程lnx＝x＋a，令y1＝lnx，y2＝x＋a，则y1＝lnx的图象与y2＝x＋a的图象有两个交点，由导数的知识可知，当直线y2＝x＋a与曲线y1＝lnx相切时，a＝－1，作出y1＝lnx与y2＝x＋a的图象(图略)，由图易知当a－1，即a∈(－∞，－1)时，y1＝lnx与y2＝x＋a的图象有两个交点．故选B．(2)解法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x1－1)(x2－1)0，∴x1x2－(x1＋x2)＋10，由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋10，即a2＋a－20，∴－2a1.故实数a的取值范围为(－2,1)．解法二：函数f(x)的大致图象如图所示，则f(1)0，即1＋(a2－1)＋a－20，∴－2a1.故实数a的取值范围是(－2,1)．[答案]