2020春八年级数学下册 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.2 菱形 第2

第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形第2课时菱形的判定-1-菱形的判定同步考点手册P211.下列四边形中不一定为菱形的是()A．对角线相等的平行四边形B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形A-2-2．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是()A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠BAC＝∠DACC-3-3．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB＝CD；③AC⊥BD；④AD＝BC；⑤AD∥BC这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有()A．1种B．2种C．3种D．4种D-4-4．在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD是()A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形B-5-5．如图，▱ABCD中，AC，BD交于点O，AB＝13，AC＝24，DB＝10，则四边形ABCD是()A．一般的平行四边形B．矩形C．菱形D．不能确定C-6-6．如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB.其中正确的是__________．(只填写序号)①②③④-7-未能准确掌握菱形的判定定理而导致出错7.下列命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中是真命题的是________．(填序号)①③⑤-8-8．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留在图中)，连接EF.-9-证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF为菱形．(1)求证：四边形ABEF为菱形；-10-(2)AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长．解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO＝12FB＝3，AE＝2AO＝2×AB2－BO2＝2×52－32＝8.-11-9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．-12-证明：∵AF∥CD，∴∠AFE＝∠CDE.∵E是AC的中点，∴AE＝CE.在△AFE和△CDE中，∠AFE＝∠CDE，∠AEF＝∠CED，AE＝CE，∴△AFE≌△CDE(AAS)，∴AF＝CD．∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．又∵E为AC的中点，∴AC＝2AE，∵AC＝2AB，∴AB＝AE.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD．在△ABD和△AED中，AB＝AE，∠BAD＝∠EAD，AD＝AD，∴△ABD≌△AED(SAS)，∴∠B＝∠AED．∵∠B＝90°，∴∠AED＝90°，即AC⊥DF.∴四边形ADCF是菱形．-13-10.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.-14-(1)求证：AF＝DC；证明：∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，∴△AFE≌△DBE，∴AF＝DB，∵AD是BC边上的中点，∴DB＝DC，∴AF＝DC．(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．解：四边形ADCF是菱形．理由如下：由(1)知，AF＝DC，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．又∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵AD是BC边上的中线，∴AD＝12BC＝DC，∴平行四边形ADCF是菱形．-15-11．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF.-16-(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；证明：∵在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC．∵在△ABF和△ADF中，AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFD＝∠AFB，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE.-17-(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，又∵∠BAC＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形．12．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F，连接CD．(1)求证：四边形BCFE是菱形；证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE.∵CF∥BE，∴四边形BCFE是平行四边形．∵BE＝2DE，BC＝2DE，∴BE＝BC．∴▱BCFE是菱形．(2)在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与△BEC面积相等的所有三角形(不包括△BEC)．解：①∵由(1)知，四边形BCFE是菱形，∴BC＝FE，BC∥EF，∴△FEC与△BEC是等底等高的两个三角形，∴S△FEC＝S△BEC．②△AEB与△BEC是等底同高的两个三角形，则S△AEB＝S△BEC．③S△ADC＝12S△ABC，S△BEC＝12S△ABC，则S△ADC＝S△BEC．④S△BDC＝12S△ABC，S△BEC＝12S△ABC，则S△BDC＝S△BEC．综上所述，与△BEC面积相等的三角形有：△FEC，△AEB，△ADC，△BDC．