2020版新教材高中数学 第三章 函数 3.2.1 函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式

3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系一、函数的零点1.零点的概念：如果函数y=f(x)在实数a处的函数值等于0，即f(a)=0，则a为函数f(x)的零点.2.零点的意义：【思考】(1)函数的零点是点吗？提示：不是，是使f(x)=0的实数x，是方程f(x)=0的根.(2)函数的零点个数、函数的图像与x轴的交点个数、方程f(x)=0根的个数有什么关系？提示：相等.二、二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系设f(x)=ax2+bx+c，方程ax2+bx+c=0(a0)的判别式Δ=b2-4ac判别式Δ0Δ=0Δ0方程f(x)=0的根有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1，x2没有实数解函数y=f(x)的图像f(x)0的解集{x|xx1或xx2}{x|x≠-}Rf(x)0的解集{x|x1xx2}⌀⌀b2a【思考】二次函数f(x)=ax2+bx+c中，二次项系数a0时，怎样求不等式f(x)0或f(x)0的解集？提示：对于二次项系数是负数(即a0)的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解；也可以画出二次项系数为负数时的函数图像，再求解.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)二次函数f(x)=x2+2x+1-a2(a≠0)不一定存在零点.()(2)若a0，则一元二次不等式ax2+10无解.()(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为{x|x1xx2}()提示：(1)×.因为Δ=4-4(1-a2)=4a20，所以函数有两个零点.(2)×.因为a0，所以不等式ax2+10恒成立，即原不等式的解集为R.(3)×.当a0时，ax2+bx+c0的解集为{x|x1xx2}，否则不成立.2.不等式x2-2x-52x的解集是()A.{x|x≥5或x≤-1}B.{x|x5或x-1}C.{x|-1x5}D.{x|-1≤x≤5}【解析】选B.由x2-2x-52x，得x2-4x-50，因为x2-4x-5=0的两根为-1，5，故x2-4x-50的解集为{x|x-1或x5}.3.不等式9x2+6x+1≤0的解集是()111A.{x|x}B.{x|x}3331C.D.{x|x}3【解析】选D.不等式可化为(3x+1)2≤0，因此只有x=-，即解集为1{x|x}.313类型一函数的零点【典例】观察下图函数y=f(x)的图像，填空：当x∈________________________时，f(x)=0；当x∈________________________时，f(x)0；当x∈________________________时，f(x)0.【思维·引】当f(x)=0时，y=f(x)的图像与x轴相交；当f(x)0时，y=f(x)的图像在x轴的上方；当f(x)0时，y=f(x)的图像在x轴下方.【解析】根据图像知f(x)=0的解集是：f(x)0的解集是：∪(2，+∞)，f(x)0的解集是：∪(1，2).答案：∪(2，+∞)∪(1，2)11{,,1,2}.3211(,)(,1)3211(,)3211{,,1,2}3211(,)(,1)3211(,)32【内化·悟】根据函数的图像，怎样求函数的零点？提示：依照函数零点的定义，求函数的零点，其实就是求方程f(x)=0的解集，也就是求函数y=f(x)的图像与x轴的交点.【类题·通】根据函数的图像，求方程f(x)=0的解集，求不等式f(x)0的解集，求不等式f(x)0的解集时，要仔细观察函数图像，找到函数图像与x轴的交点横坐标，找到函数图像位于x轴上方部分图像对应的x的值的集合，找到函数图像位于x轴下方部分图像对应的x的值的集合.【习练·破】观察如图函数y=f(x)的图像，填空：当x∈________________________时，f(x)=0；当x∈________________________时，f(x)0；当x∈________________________时，f(x)0.【解析】根据图像知f(x)=0的解集是{-5，-4，2}.f(x)0的解集是(-∞，-5)∪(-5，-4)∪(2，+∞)，f(x)0的解集是(-4，2).答案：{-5，-4，2}(-∞，-5)∪(-5，-4)∪(2，+∞)(-4，2)类型二二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系【典例】解下列不等式：(1)2x2+5x-30.(2)-3x2+6x≤2.(3)4x2+4x+10.(4)-x2+6x-100.【思维·引】根据一元二次不等式f(x)0或f(x)0，构造函数y=f(x)，画出函数图像，当f(x)0时，求x轴上方部分图像对应的x的集合，当f(x)0时，求x轴下方部分图像对应的x的集合.【解析】(1)设函数f(x)=2x2+5x-3，令f(x)=0，得2x2+5x-3=0，即：(2x-1)(x+3)=0，从而x1=-3，x2=，所以-3，是函数的零点，1212所以函数f(x)的图像如图①与x轴相交于(-3，0)，，又因为函数f(x)开口向上，所以原不等式的解集为1(,0)21{x|3x}.2(2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0.Δ=120，解方程3x2-6x+2=0，得x1=作出函数y=3x2-6x+2的图像，如图②所示，由图可得原不等式的解集为23333x33，，3333{x|xx}.33或(3)因为Δ=0，所以方程4x2+4x+1=0有两个相等的实根x1=x2=-.作出函数y=4x2+4x+1的图像如图③所示.由图可得原不等式的解集为121{x|xxR}.2，(4)原不等式可化为x2-6x+100，因为Δ=-40，所以方程x2-6x+10=0无实根，所以原不等式的解集为⌀.【内化·悟】怎样把一元二次不等式f(x)0或f(x)0与函数y=f(x)的图像结合，求不等式的解集？提示：一元二次方程的根对应于二次函数图像与x轴的交点，一元二次不等式的解对应于二次函数图像在x轴上方(下方)，或在x轴上的点，由此得出二次函数图像的开口方向及与x轴的交点情况确定的一元二次不等式的图像解法，这样就形成了二次函数与一元二次方程相结合来解一元二次不等式的方法.【类题·通】解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零.(2)计算对应方程的判别式.(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根.(4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集.【习练·破】已知集合M={x|x2-3x-28≤0}，N={x|x2-x-60}，则M∩N为()A.{x|-4≤x-2或3x≤7}B.{x|-4x≤-2或3≤x7}C.{x|x≤-2或x3}D.{x|x-2或x≥3}【解析】选A.因为M={x|x2-3x-28≤0}={x|-4≤x≤7}，N={x|x2-x-60}={x|x-2或x3}，所以M∩N={x|-4≤x-2或3x≤7}.类型三解简单的高次不等式【典例】求函数f(x)=(x-2)(2x+1)(3x-7)(x+3)的零点，并作出函数的图像的示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)0的解集.世纪金榜导学号【思维·引】令f(x)=0求得函数的零点，列表分别求出函数在各个区间上的正负，画出示意图，根据示意图，在x轴上方部分是f(x)0的解集，在x轴下方的部分是f(x)0的解集.【解析】函数的零点为-3，-，2，，函数的定义域被这四个点分为五部分，每一部分函数值的符号如下表：x(-∞，-3)f(x)+-+-+12737(,)37(2,)31(,2)21(3,)2所以函数的示意图如图：根据函数的图像，知不等式f(x)≥0的解集为(-∞，-3]∪不等式f(x)0的解集为17[,2][,),2317(3,)(2).23，【内化·悟】解简单高次不等式的关键是什么？提示：将高次不等式右边化为0，左边分解因式求解.【类题·通】解简单高次不等式的一般步骤(1)将不等式右边化为0，左边分解因式.(2)计算对应方程的根，求出函数的零点.(3)列表，判断函数在各个区间上的正负.(4)根据函数在各个区间上的正负，画出函数的示意图.(5)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集.【习练·破】求函数f(x)=(x+2)(3x-2)(2x-4)的零点，并作出函数的图像的示意图，写出不等式f(x)0和f(x)0的解集.【解析】函数的零点为-2，，2，函数的定义域被这三个点分为四部分，每一部分函数值的符号如表：x(-∞，-2)(2，+∞)f(x)-+-+232(2,)32(,2)3所以函数的示意图如图：根据函数的图像，知不等式f(x)0的解集为(-∞，-2)∪不等式f(x)0的解集为2(,2)3，2(2,)(2).3，