2020版新教材高中数学 第三章 函数 3.1.3.2 函数奇偶性的应用课件 新人教B版必修1

第2课时函数奇偶性的应用类型一利用函数的奇偶性求解析式【典例】已知f(x)是定义在R上的奇函数，x0时，f(x)=x2-2x-3，求f(x)的解析式.世纪金榜导学号【思维·引】利用奇偶性分别求出当x=0，x0时的解析式.【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，若x0，则-x0，则f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x-3，又由函数f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)=-x2-2x+3，故f(x)=-x2-2x+3，所以函数f(x)=22x2x3x0,0x0,x2x3,x0.，，【内化·悟】对于奇函数，怎样处理在x=0处的解析式？提示：考查在x=0处是否有意义，如果有则f(0)=0.【类题·通】利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x)，从而解出f(x).【习练·破】f(x)为R上的奇函数，且当x≥0时f(x)=x(1+x3)，则当x0时f(x)为()A.x(1+x3)B.-x(1-x3)C.x(1-x3)D.-x(1+x3)【解析】选C.根据题意，x0，则-x0，则f(-x)=(-x)[1+(-x)3]=-x(1-x3)，又由函数f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)=x(1-x3).【加练·固】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2-x+1.(1)求f(0)的值.(2)求f(x)在R上的解析式.【解析】(1)函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(-x)=-f(x)，令x=0，得f(-0)=-f(0)，即f(0)=0，故f(0)=0；(2)当x0时，-x0，f(-x)=[(-x)2-(-x)+1]=x2+x+1，又由函数f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)=-x2-x-1，又由f(0)=0，则f(x)=22xx1x00x0xx1x0，，，．类型二函数奇偶性与单调性关系的应用【典例】1.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，有0，则()2121fxfxxx（）（）A.f(3)f(-2)f(1)B.f(1)f(-2)f(3)C.f(-2)f(1)f(3)D.f(3)f(1)f(-2)2.已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，则满足条件f(2x+1)f(5)的x的取值范围是()世纪金榜导学号A.(-3，2)B.(-2，3)C.(-2，2)D.[-3，2]【思维·引】1.先得出函数的单调性，再利用奇偶性转化到一个单调区间上比较.2.利用奇偶性得出函数在R上的单调性，结合图像确定2x+1的范围，从而求x的范围.【解析】1.选A.根据题意，函数f(x)为偶函数，则f(-2)=f(2)，函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，有0，则函数f(x)在[0，+∞)上为减函数，则f(3)f(2)f(1)又由f(-2)=f(2)，则f(3)f(-2)f(1).2121fxfxxx（）（）2.选A.因为函数f(x)为偶函数且在区间[0，+∞)上单调递增，则在(-∞，0)上是减函数，f(2x+1)f(5)⇒|2x+1|5，即-52x+15，解可得：-3x2，即x的取值范围为(-3，2).【内化·悟】若偶函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么在区间[-b，-a]上的单调性是怎样的？如果函数f(x)是奇函数呢？提示：偶函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么在区间[-b，-a]上的单调性是减函数.若函数f(x)是奇函数，则在区间[-b，-a]上也是增函数.【类题·通】奇偶性与单调性的关系1.关系：(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；(2)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.2.应用：(1)奇函数在连续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，利用单调性可直接得到a，b的大小关系；(2)偶函数在连续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，应考虑|a|，|b|的关系.【习练·破】1.已知函数f(x)是定义在区间[-2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)是减函数，如果不等式f(1-m)f(m)成立，则实数m的取值范围是()A.B.[1，2]C.(-∞，0)D.(-∞，1)1[1)2，【解析】选A.根据题意，函数f(x)是定义在区间[-2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)是减函数则f(1-m)f(m)⇔，解可得-1≤m，则m的取值范围为1mm21m22m2，1[1).2，122.已知奇函数f(x)为R的减函数，若f(3a2)+f(2a-1)≥0，则实数a的取值范围是________.【解析】因为奇函数f(x)为R上的减函数，所以不等式f(3a2)+f(2a-1)≥0，等价为f(3a2)≥-f(2a-1)=f(1-2a)，即3a2≤1-2a，即3a2+2a-1≤0得(a+1)(3a-1)≤0，得-1≤a≤，即实数a的取值范围是答案：1[1].3，131[1]3，【加练·固】函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(-∞，0]上为增函数，若f(a)≤f(3)，则实数a的取值范围是()A.a≤3B.a≥-3C.a≤-3或a≥3D.-3≤a≤3【解析】选C.根据题意，函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(-∞，0]上为增函数，则其在[0，+∞)上是减函数，若f(a)≤f(3)，则f(|a|)≤f(3)，即|a|≥3解可得a≤-3或a≥3.类型三函数的单调性、奇偶性的综合应用角度1探究函数的图像及性质【典例】研究函数y=x-的性质，并作出函数的图像.世纪金榜导学号【思维·引】按照定义域→奇偶性→单调性→图像的顺序进行探究.1x【解析】函数的定义域为D={x|x≠0}，从而可知函数的图像有左右两部分.设f(x)=x-，则对任意x∈D都有-x∈D，而且f(-x)=-x+所以函数y=x-是奇函数，函数的两部分图像关于原点对称.1x11(x)fxxx（），1x任取x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，f(x2)-f(x1)==(x2-x1)+=(x2-x1)+所以=1+，因为x1，x2∈(0，+∞)，所以0所以函数y=x-在(0，+∞)上是增函数.列出部分函数值如下表所示，描点作图.212111(x)(x)xx1211()xx2112xxxx，fx121xxfx1xx12301yxx12323283再根据函数是奇函数，可得出函数图像如图所示，【素养·探】在探究函数的图像和性质时，常常用到核心素养中的逻辑推理，通过探究函数的性质，进一步得到函数的图像.将本例中的函数变为y=，试探究函数的性质，并作出函数的图像.(参考公式a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2))31x【解析】函数的定义域为D={x|x≠0}，从而可知函数的图像有左右两部分.设f(x)=，则对任意x∈D，都有-x∈D，而且f(-x)==-f(x)，31x3311xx（）所以函数y=是奇函数，函数的两部分图像关于原点对称.因为x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2时，f(x2)-f(x1)=31x331233332112xx11xxxx221211223312xxxxxxxx（）（），所以因为x1，x2∈(0，+∞)，所以0，所以函数y=在(0，+∞)上是减函数.2211223312xxxxfxxx，fx31x列出部分函数值如下表所示，描点作图.x1238131yx1218127再根据函数是奇函数，可得出函数图像如图所示，角度2研究函数的对称性【典例】求证二次函数f(x)=-x2+2x+3关于x=1对称.世纪金榜导学号【思维·引】分别计算f(1+h)，f(1-h)【证明】任取h∈R，因为f(1+h)=-(1+h)2+2(1+h)+3=-h2+4，f(1-h)=-(1-h)2+2(1-h)+3=-h2+4，所以f(1+h)=f(1-h)，所以函数的图像关于x=1对称.【类题·通】1.如何探究函数的性质及图像主要从以下几个方面进行探究，定义域、奇偶性、单调性.如果具有奇偶性，则只探究y轴右侧的函数性质及图像，y轴左侧的可以根据奇偶性得到.2.关于函数的对称性函数f(x)若对于任意x∈R，a是常数，(1)关于直线x=a对称：⇔f(a+x)=f(a-x)(f(2a-x)=f(x))，(2)关于点(a，b)对称：⇔f(a+x)+f(a-x)=2b(f(2a-x)+f(x)=2b)，特别地：关于点(a，0)对称，则f(a+h)=-f(a-h).【习练·破】求证：函数f(x)=的图像关于(-1，1)对称.x1x1【证明】任取h∈R，因为f(-1+h)=f(-1-h)=所以f(-1+h)+f(-1-h)=所以函数f(x)=的图像关于(-1，1)对称.1h12h1h1h，1h12h2h1h1hh，2h2h2.hhx1x1【加练·固】试探究函数f(x)=x|x|-2x的性质，作出图像并写出单调区间和值域.【解析】函数的定义域为R，任取x∈R，则-x∈R，且f(-x)=-x|-x|-2(-x)=-x|x|+2x=-f(x)，所以函数f(x)=x|x|-2x是奇函数，当x∈[0，+∞)时，f(x)=x2-2x是二次函数，对称轴为x=1，f(1)=1-2=-1，与x轴交于(0，0)，(2，0)，作出函数图像如图，再根据函数是奇函数得函数的图像，如图所示：由图可知，函数的单调增区间为(-∞，-1]或[1，+∞)，单调减区间为[-1，1]，值域为R.