2020版七年级数学下册 第4章 相交线与平行线 4.1 平面上两条直线的位置关系 4.1.2 相交

4.1.2相交直线所成的角【知识再现】1.平行线:在同一平面内,没有___________的两条直线叫做平行线.2.有公共端点的两条射线组成的图形叫做_______,这个公共端点是角的_________,这两条射线是角的两条边.公共点角顶点3.两条直线相交在交点处形成______个角.4【新知预习】阅读教材P75-P76,解决以下问题:1.对顶角两个角_______________,且它们的________________________,具有这种关系的___________互为对顶角.有公共顶点两边互为反向延长线两个角如图,∠1与∠3,∠2与∠4是对顶角.性质:对顶角_________.相等2.(1)同位角:在截线_________,被截线_____________(如基本图形1);形如字母“F”(或倒置、反置、旋转).(2)内错角:在截线_________,被截线_________(交错)(如基本图形2);形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转).同侧同一方向两侧之间(3)同旁内角:在截线_________,被截线_________(如基本图形3).形如字母“U”(或倒置、反置、旋转).同侧之间3.三线八角(1)定义:两条直线被第三条直线所截,构成的八个角.(2)三线八角中的各种关系角的对数:两条直线被第三条直线所截构成的八个角中,共有______对同位角,______对内错角,______对同旁内角.422【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是()C2.如图,下列结论正确的有()B①∠ABC与∠C是同位角;②∠C与∠BDC是同旁内角;③∠BDC与∠DBC是内错角;④∠ABD的内错角是∠BDC;⑤∠A与∠ABD是由直线AD,BD被直线AB所截得到的同旁内角.A.①②③B.②④⑤C.③④⑤D.②③④3.如图,直线AB,CD相交于点O,若∠AOD=28°,则∠BOC=_________,∠AOC=__________.28°152°知识点一对顶角及其性质(P78习题4.1A组T5拓展)【典例1】如图,直线AB,CD相交于点O.(1)若∠AOC+∠BOD=120°,求各角的度数.(2)若∠BOC比∠AOC的2倍多33°,求各角的度数.【尝试解答】(1)因为∠AOC和∠BOD是对顶角,所以∠AOC=∠BOD,…………对顶角性质因为∠AOC+∠BOD=120°,所以______=__________=60°.……角的和差∠AOC∠BOD因为∠AOC+∠AOD=__________,……邻补角定义所以∠AOD=__________-∠AOC=120°,………………角的和差所以__________=__________=120°.…………………………对顶角性质180°180°∠AOD∠BOC(2)∠BOC比∠AOC的2倍多33°,则∠BOC-2∠AOC=33°且∠BOC+∠AOC=__________.…………邻补角定义所以∠AOC=∠BOD=49°,∠AOD=∠BOC=131°.…………………………角的和差180°【学霸提醒】对顶角的三大特征(1)数量关系:如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.(2)位置关系:有公共顶点,两边互为反向延长线,也可看作两边形成两条相交的直线.(3)成对出现:对顶角是两个角的关系,其成对出现.【题组训练】1.如图:已知直线AB,CD相交于点O,∠BOE=62°,∠COE=105°.则∠AOD的度数是_________.43°★2.如图,已知直线AB,CD,EF相交于点O.世纪金榜导学号(1)若∠COF=120°,∠AOD=100°,求∠AOF的度数.(2)若∠BOC-∠BOD=20°,求∠AOC的度数.解:(1)因为∠COF=120°,所以∠COE=180°-120°=60°,所以∠DOF=∠COE=60°,因为∠AOD=100°,所以∠AOF=100°-60°=40°.(2)因为∠BOC+∠BOD=180°,∠BOC-∠BOD=20°,所以∠BOC=100°,∠BOD=80°,所以∠AOC=∠BOD=80°.★★3.(2019·菏泽郓城期末)如图,l1,l2,l3交于点O,∠1=∠2,∠3∶∠1=8∶1,求∠4的度数.世纪金榜导学号解:设∠1=x,则∠2=x,∠3=8x,依题意有x+x+8x=180°,解得x=18°,则∠4=18°+18°=36°.故∠4的度数是36°.知识点二同位角、内错角、同旁内角(P77例1拓展)【典例2】如图,找出图中∠DEA,∠ADE的同位角、内错角和同旁内角.【自主解答】图中∠DEA的同位角为∠C、内错角为∠BDE、同旁内角为∠A和∠ADE;∠ADE的同位角为∠B、内错角为∠CED、同旁内角为∠AED和∠A.【学霸提醒】如何正确判断同位角、内错角、同旁内角(1)同位角、内错角和同旁内角都有一条边落在同一条直线上,另一边分别在其他两条直线上,也就是每个角都与某条直线有关,共线的那组边所在的直线就是截线,另外两边所在的直线就是被截线.(2)弄清所判断的哪两个角是同位角、内错角、同旁内角,要知道哪两条直线被第三条直线所截形成的.(3)识别“三线八角”中的两个角属于何种类别时可联想英文大写字母,即“F”形的为同位角,“Z”形的为内错角,“U”形的为同旁内角.【题组训练】1.如图,下列说法错误的是()A.∠A与∠B是同旁内角B.∠3与∠1是同旁内角C.∠2与∠3是内错角D.∠1与∠2是同位角D★2.如图,有下列判断:①∠A与∠1是同位角;②∠A与∠B是同旁内角;③∠4与∠1是内错角;④∠1与∠3是同位角.其中正确的是_________(填序号).世纪金榜导学号①②★★3.如图,直线DE和AB,AC相交,构成8个角,指出这8个角中的所有的同位角,内错角,同旁内角.世纪金榜导学号解:同位角是∠1与∠8,∠4与∠7,∠2与∠5,∠3与∠6;内错角是∠1与∠6,∠4与∠5;同旁内角是∠1与∠5,∠4与∠6.【火眼金睛】如图,与∠α构成同旁内角的角有________.【正解】直线AC,EF被直线BC所截,此时∠α与∠FEC是同旁内角;直线AC,AB被直线BC所截,此时∠α与∠B是同旁内角;直线EF,EC被直线AC所截,此时∠α与∠EFC是同旁内角;直线DF,BC被直线AC所截,此时∠α与∠DFC是同旁内角;直线AB,BC被直线AC所截,此时∠α与∠A是同旁内角.答案:∠FEC,∠B,∠EFC,∠DFC,∠A【一题多变】如图,直线AC,EF相交于点O,OD是∠AOB的平分线,OE在∠BOC内,∠BOE=∠EOC,∠DOE=72°,求∠AOF的度数.12解:设∠BOE=x,则∠AOF=∠EOC=2x.因为∠AOB与∠BOC互为邻补角,所以∠AOB=180°-3x.因为OD平分∠AOB,所以∠DOB=∠AOB=90°-x.因为∠DOE=72°,1232所以90°-x+x=72°,解得x=36°.所以∠AOF=2x=72°.32【母题变式】【变式一】如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC.(1)若∠EOC=70°,求∠BOD的度数.(2)若∠EOC∶∠EOD=4∶5,求∠BOD的度数.解:(1)因为∠EOC=70°,OA平分∠EOC,所以∠AOC=35°,所以∠BOD=∠AOC=35°.(2)设∠EOC=4x,则∠EOD=5x,所以5x+4x=180°,解得x=20°,则∠EOC=80°.又因为OA平分∠EOC,所以∠AOC=40°,所以∠BOD=∠AOC=40°.【变式二】如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE,且∠1∶∠2=1∶4,求∠AOC和∠AOF的度数.解:因为OE平分∠BOD,所以∠1=∠BOE,因为∠1∶∠2=1∶4,所以设∠1=x°,则∠EOB=x°,∠AOD=4x°,所以x+x+4x=180,解得x=30,所以∠1=30°,∠DOB=60°,所以∠COE=150°,因为OF平分∠COE,所以∠EOF=75°,所以∠BOF=75°-30°=45°,所以∠AOF=180°-45°=135°.则∠AOC=180°-∠2=180°-4x°=60°.