2020版九年级数学下册 第三章 圆 3.8 圆内接正多边形课件 （新版）北师大版

8圆内接正多边形【知识再现】正多边形：_______________，_______________的多边形叫正多边形.各边都相等内角都相等【新知预习】阅读教材P97，解决以下问题：正多边形与圆的关系：【探究一】等分圆周，依次连接各个分点，得到圆内接多边形是正多边形吗？为什么？这个圆叫做这个正多边形的___________.这个多边形叫做圆内接正多边形.外接圆【探究二】应用等分圆周的方法作正多边形：1.应用量角器，根据相等的圆心角所对的弧_________，把360°的圆心角n等分，依次连接各个分点，得到圆内接正n边形.相等2.尺规作图：(1)因为与半径相等的弦长所对的圆心角是_________，所以在圆内依次截取等于_________的弦，可以把圆六等分，依次连接各个分点，得到____________，间隔连接，得到_____________；(2)作两条互相_________的直径，可以将圆四等分，依次连接各个分点，可以得到正方形.60°半径正六边形正三角形垂直归纳：1.圆内接正多边形的相关概念(1)圆内接正多边形：顶点都在_____________的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的___________.同一圆上外接圆(2)中心：正多边形的_________________叫做正多边形的中心.(3)半径：正多边形的_________________叫做正多边形的半径.外接圆的圆心外接圆的半径(4)边心距：中心到正多边形的一边的_________叫做正多边形的边心距.(5)中心角：正多边形的每一边所对的___________的圆心角叫做正多边形的中心角.距离外接圆2.圆内接正多边形的计算(1)正n边形的中心角为_______.(2)正n边形的每一个内角=.(3)正n边形的每一个外角=.360n180(n2)360180nn－－360n【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧！1.下列多边形中，是正多边形的是()A.菱形B.矩形C.等腰梯形D.正六边形D2.圆的两条弦AB，AC分别是它的内接正三角形与内接正五边形的边长，则∠BAC等于()A.24°或84°B.54°C.32°或72°D.36°A3.正多边形的中心角为72°的是正_______边形；正多边形的中心角等于其内角的是正_______边形.4.已知正六边形的周长为30，那么正六边形的半径为______.五四5知识点一圆内接正多边形的概念及计算(P97例拓展)【典例1】(2019·丰城市期中)如图，已知正三角形ABC内接于☉O，AD是☉O的内接正十二边形的一条边长，连接CD，若CD=6cm，求☉O的半径.2【规范解答】连接OA，OD，OC，如图所示：∵等边△ABC内接于☉O，AD为内接正十二边形的一边，∴∠AOC=×360°=120°，∠AOD=×360°=30°，13112∴∠COD=∠AOC-∠AOD=90°，∵OC=OD，∴△OCD是等腰直角三角形，∴OC=OD=CD=×6=6(cm)，即☉O的半径为6cm.22222【题组训练】1.(2019·扬州一模)☉O是一个正n边形的外接圆，若☉O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为()A.3B.4C.6D.8C★2.(2019·无锡锡山区期中)若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为____.世纪金榜导学号★★3.(2019·徐州鼓楼区模拟)正六边形的周长为12，则它的外接圆的内接正三角形的周长为()A.2B.3C.6D.62C333★★4.已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R，边心距r，面积S.世纪金榜导学号解：连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于点G，∵∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=6，即R=6，∵OA=OB=6，OG⊥AB，∴AG=AB=×6=3(cm)，1212∴在Rt△AOG中，r=OG=cm，∴S=×6×3×6=54(cm2).22OAAG33＝1233【我要做学霸】正多边形的有关计算的“三个步骤”1.分解：把正n边形分成_______个全等的直角三角形.2.转化：把正n边形的各个元素放到一个_________三角形中3.计算：利用_______________的性质解答.2n直角直角三角形知识点二正多边形的作法及应用(P98“做一做”拓展)【典例2】如图，已知☉O，用尺规作☉O的内接正四边形ABCD.(写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)【思路点拨】画圆的一条直径AC，作这条直径的中垂线交☉O于点B，D，连接AB，AD，BC，CD就得圆内接正四边形ABCD.【自主解答】如图所示，四边形ABCD即为所求：【学霸提醒】作正多边形的方法1.用量角器度量等分圆周作正多边形.2.用尺规等分圆周作正多边形.【题组训练】1.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为()A.10B.9C.8D.7D★2.(易错警示题)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，连当年叱咤风云的拿破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等分.例如可将圆6等分，如图只需在☉O上任取点A，从点A开始，以☉O的半径为半径，在☉O上依次截取点B，C，D，E，F.从而点A，B，C，D，E，F把☉O六等分.下列可以只用圆规等分的是()①两等分②三等分③四等分④五等分A.②B.①②C.①②③D.①②③④C★3.如图所示，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠B=60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长(粗线部分)为()世纪金榜导学号A.12mB.20mC.22mD.24mB3★4.刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=.(结果保留根号)世纪金榜导学号23★★5.在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：世纪金榜导学号(1)如图，作直径AD.(2)作半径OD的垂直平分线，交☉O于B，C两点.(3)连接AB，AC，那么△ABC为所求的三角形.请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由.解：两位同学的作法正确.连接BO，CO，∵BC垂直平分OD，∴直角△OEB中，cos∠BOE=，∴∠BOE=60°.由垂径定理得∠COE=∠BOE=60°，由于AD为直径，∴∠AOB=∠AOC=120°，OE1OB2∴AB=BC=CA，即△ABC为等边三角形.【火眼金睛】线段AB是圆内接正十边形的一条边，则AB所对的圆周角的度数是_______.正解：如图，圆内接正十边形的边AB所对的圆心角∠1=36°，当圆周角的顶点在优弧上时，AB所对的圆周角为18°.当圆周角的顶点在劣弧上时，AB所对的圆周角为180°-18°=162°，∴综上所述答案为：18°或162°.答案：18°或162°ABAB【一题多变】已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是()A.2B.1C.D.3323B【一题多变】已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是()A.2B.1C.D.【母题变式】【变式一】(变换条件和问法)一个正四边形的外接圆半径为R，边心距为r，那么R与r的关系是()B32A.rRB.rR2235C.rRD.rR43【变式二】(变换条件和问法)等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是()A.1∶2∶B.2∶3∶4C.1∶∶2D.1∶2∶333D