2020版九年级数学下册 第1章 二次函数 1.5 二次函数的应用（第1课时）课件 （新版）湘教版

1.5二次函数的应用第1课时【知识再现】二次函数y=ax2+bx+c的图象是___________,当b=0时,抛物线关于________对称,其顶点坐标为__________;当b≠0时,抛物线关于直线___________对称,此时顶点坐标为.抛物线y轴(0,c)2b4acb(,)2a4ab2a【新知预习】阅读教材P29-30,完成下面的填空:1.建立二次函数模型解决抛物线型实际问题的一般步骤(1)根据题意建立适当的___________________.(2)把已知条件转化为点的_________.平面直角坐标系坐标(3)合理设出_______________.(4)利用待定系数法求出_______________.(5)根据求得的表达式进一步分析、判断并进行有关的计算.函数表达式函数表达式2.最值问题的理解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0):(1)当a0时,抛物线开口向下,其顶点是图象的最_______点,即自变量x取顶点的横坐标时,函数y有最_______值.高大(2)当a0时,抛物线开口向上,其顶点是图象的最_______点,即自变量x取顶点的横坐标时,函数y有最_______值.(3)综上所述,当x=-时,y有最大(小)值_______.低小b2a24acb4a【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.有一座抛物线拱桥,在正常水位时,桥下水面宽度为20米,拱顶距离水面4米.在如图所示的直角坐标系中,该抛物线的表达式为______________.21yx252.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16m,则所围成矩形ABCD的最大面积是_______m2.64知识点一建立直角坐标系解决实际问题(P29动脑筋拓展)【典例1】某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式.(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.【自主解答】(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x-3)2+5(a≠0),将(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得:25a+5=0,解得:a=-,∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-(x-3)2+5(0x8).1515(2)当y=1.8时,有-(x-3)2+5=1.8,解得:x1=-1,x2=7,∴为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.(3)略15【学霸提醒】解决抛物线型问题“三步骤”1.根据题意,建立恰当的坐标系,设抛物线表达式.2.准确转化线段的长与点的坐标之间的关系,得到抛物线上点的坐标,代入表达式,求出二次函数表达式.3.应用所求表达式及其性质解决问题.【题组训练】1.如图,将一个小球从斜坡的点O处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-x2刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画,下列结论错误的是()世纪金榜导学号1212AA.当小球抛出高度达到7.5m时,小球距O点水平距离为3mB.小球距O点水平距离超过4m后呈下降趋势C.小球落地点距O点水平距离为7mD.斜坡的坡度为1∶2★2.某公园草坪的防护栏是由150段形状相同的抛物线组成的.为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5m(如图),则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为()A.240mB.200mC.160mD.150mA知识点二面积最优化问题(P30动脑筋拓展)【典例2】如图所示,有长为30m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为10m),围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃.设花圃的一边AB为xm,面积为ym2.(1)求y与x的函数表达式.(2)如果要围成面积为63m2的花圃,AB的长是多少?(3)能围成比63m2更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积;如果不能,请说明理由.【自主解答】(1)由题意得:y=x(30-3x)=-3x2+30x,由题意可知030-3x≤10,可得≤x10,即y=-3x2+30x.20320(x10)3(2)当y=63时,-3x2+30x=63.解此方程得:x1=7,x2=3.当x=7时,30-3x=910,符合题意;当x=3时,30-3x=2110,不符合题意,舍去.∴当AB的长为7m时,花圃的面积为63m2.(3)略【学霸提醒】应用二次函数解决面积最大问题的步骤1.分析题中的变量与常量.2.找出等量关系,根据几何图形的面积公式建立函数模型.3.结合函数图象及性质,考虑实际问题中自变量的取值范围,求出面积的最大或最小值.【题组训练】1.将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是()A.12.5cm2B.25cm2C.50cm2D.12cm2A★2.如图,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计),当AB=________m时,矩形土地ABCD的面积最大.150★★3.如图,一个矩形菜园ABCD,一边AD靠墙(墙MN长为a米,MN≥AD),另外三边用总长100米的不锈钢栅栏围成.世纪金榜导学号(1)当a=20米时,矩形ABCD的面积为450平方米,求AD的长.(2)求矩形ABCD面积的最大值.解:(1)设AD=x米,则BC=x米,AB=CD=(100-x)=米,依题意有:x=450,整理得:x2-100x+900=0,解得x=90或x=10,∵MN=a=20,MN≥AD,∴x=9020不合题意,舍去,∴x=10,即AD长为10米.121(50x)21(50x)2(2)略【火眼金睛】正方形ABCD边长为4,M,N分别是BC,CD上的两个动点,当点M在BC上运动时,保持AM和MN垂直,当点M在什么位置时,△ADN的面积最大或最小,并求出最大或最小面积.正解:设MC=x,则BM=4-x,由题意可知△CMN∽△BAM,∴,即,∴CN=.CMCNBABMxCN44xx4x4∴S△ADN=4×4-×4=x2-2x+8=(x-2)2+6.∵a0且0x≤4,∴当x=2时取得最小值,最小值为6,当x=4时取得最大值,最大值为8.x4x1[4]241212【一题多变】某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1米宽的门,已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27米,则能建成的饲养室面积最大为多少?解:设垂直于墙的边长为x米,则平行于墙的边长为27+3-3x=30-3x,则总面积S=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,故饲养室的最大面积为75平方米.【母题变式】【变式一】如图,从一张矩形纸片较短的边上找一点E,过E点剪下两个正方形,它们的边长分别是AE,DE,要使剪下的两个正方形的面积和最小,点E应选在何处?为什么?解:设矩形纸较短边长为a,两个正方形的面积和为y,DE=x,则AE=a-x,那么两个正方形的面积和:y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2,当x=-=a时,y最小值=2×-2a×a+a2=a2.即点E选在矩形纸较短边的中点时,剪下的两个正方形的面积和最小.2a221221(a)21212【变式二】为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x米,矩形区域ABCD的面积为y平方米.(1)求证:AE=2BE.(2)求y与x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.(3)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?解:(1)∵三块矩形区域的面积相等,∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍,又∵EF是公共边,∴AE=2BE.(2)设BE=a,则AE=2a,AB=3a,∴8a+2x=80,∴a=,∴y=3ax=3··x=-x2+30x,∵a=0,∴x40,∴0x40.802x8802x834802x8(3)∵y=-x2+30x=-(x-20)2+300(0x40),且二次项系数为-0,∴当x=20时,y有最大值,最大值为300平方米.343434