2020版九年级数学下册 第1章 二次函数 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式课件 （新版）湘教

﹡1.3不共线三点确定二次函数的表达式【知识再现】抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是_____________.当a0时,开口向_______,顶点是抛物线的最_______点;当a0时,开口向_______,顶点是抛物线的最_______点.上低下高2b4acb(,)2a4a【新知预习】阅读教材P21-22,学习确定二次函数表达式的方法并填空:1.由不共线三点确定二次函数表达式的方法求二次函数的表达式,关键是求出表达式y=ax2+bx+c中a,b,c的值,方法是根据已知条件,列出关于a,b,c的_________,求出a,b,c的值,然后写出二次函数表达式.方程组2.根据三点坐标确定二次函数表达式的条件(1)三点_________,不能确定二次函数.(2)三点___________,且三点的横坐标_____________,可能确定唯一一个二次函数.共线不共线两两不等3.确定二次函数表达式的一般方法已知条件选用表达式的形式顶点和另一点的坐标____________二次函数各项系数中的一个和两点的坐标____________三个点的坐标____________交点(x1,0)(x2,0)y=a(x-x1)(x-x2)顶点式一般式一般式【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.抛物线与x轴交于点(-1,0)和(3,0),与y轴交于点(0,-3),则此抛物线对应函数的表达式为()A.y=x2+2x+3B.y=x2-2x-3C.y=x2-2x+3D.y=x2+2x-3B2.已知二次函数的图象的顶点坐标是(-2,3),且过点(-1,5),则这个二次函数的表达式为_______________.y=2(x+2)2+3知识点一求二次函数y=ax2+bx+c的表达式(P21例1拓展)【典例1】(2019·泰州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),该图象与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1.(1)求该二次函数的表达式.(2)求tan∠ABC.【思路点拨】(1)由题意可设抛物线表达式为:y=a(x-4)2-3(a≠0),将A(1,0)代入表达式求a的值.(2)由锐角三角函数定义解答.【自主解答】(1)由题意可设抛物线表达式为:y=a(x-4)2-3,(a≠0).把A(1,0)代入,得0=a(1-4)2-3,解得a=.故该二次函数表达式为y=(x-4)2-3.1313(2)令x=0,则y=(0-4)2-3=.则OC=.∵二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),则点B与点A关于直线x=4对称,∴B(7,0).∴OB=7.∴tan∠ABC=.13737371373【学霸提醒】确定二次函数一般式的“四步骤”1.设:设二次函数表达式为y=ax2+bx+c(a≠0).2.列:根据题意列方程组.3.解:解方程组.4.定:确定二次函数表达式.【题组训练】1.已知一个二次函数,当x=1时,y有最大值8,其图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,则这个二次函数的表达式是世纪金榜导学号()A.y=-2x2-x+3B.y=-2x2+4C.y=-2x2+4x+8D.y=-2x2+4x+6D★2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则此函数的表达式为_____________.y=x2+2x-3★★3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,10),(1,4),(2,7).世纪金榜导学号(1)求二次函数的表达式.(2)先把二次函数化成y=a(x-h)2+k的形式,然后写出其对称轴和顶点坐标.解:(1)把点(-1,10),(1,4),(2,7)分别代入函数表达式得:解得:故这个二次函数的表达式为:y=2x2-3x+5.abc10,abc4,4a2bc7,a2,b3,c5,(2)y=2x2-3x+5=2(x-)2-+5=2(x-)2+,则抛物线的对称轴是直线x=,顶点坐标是.2223332[xx()()]524434983431834331()48，知识点二二次函数y=ax2+bx+c的综合应用(P23T3拓展)【典例2】如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式.(2)设抛物线的对称轴为l,l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【自主解答】(1)将点A(-1,0),B(3,0)代入y=-x2+bx+c得:解得:∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.1bc0,93bc0,b2,c3.(2)存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形,如图,连接PC,交抛物线对称轴l于点E,∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,∴抛物线的对称轴为直线x=1.①当t=2时,点C,P关于直线l对称,CP⊥MD,此时存在点M,使得四边形CDPM是菱形.∵抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,∴点C的坐标为(0,3),点P的坐标为(2,3),∴点M的坐标为(1,6);②当t≠2时,不存在,理由如下:若四边形CDPM是平行四边形,则CE=PE,∵点C的横坐标为0,点E的横坐标为1,∴点P的横坐标t=1×2-0=2.又∵t≠2,∴不存在.故在直线l上存在点M(1,6),使得四边形CDPM是平行四边形.【学霸提醒】确定二次函数表达式的三种方法(1)一般式:若已知三个一般点的坐标,可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)求表达式.(2)顶点式:若已知抛物线的顶点坐标,对称轴或最值时,可设顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)确定表达式.(3)交点式:若已知抛物线与x轴交点的横坐标,可设y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)确定表达式.【题组训练】1.已知一个三角形的面积S与底边x的关系是S=x2-2x+6,要使S有最小值,则x的值为()A.1B.2C.-1D.5A★2.已知点A(-2,-c)向右平移8个单位得到点A′,A与A′两点均在抛物线y=ax2+bx+c上,且这条抛物线与y轴的交点的纵坐标为-6,则这条抛物线的顶点坐标是()A.(2,-10)B.(2,-6)C.(4,-10)D.(4,-6)A★★3.如图,已知抛物线y=ax2+bx+1与x轴分别交于A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.世纪金榜导学号(1)求抛物线表达式.(2)在直线BC上方的抛物线上有一点P,使△PBC面积为1,求出点P的坐标.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+1与x轴分别交于A(-1,0),B(3,0),∴解得∴抛物线的表达式为y=-x2+x+1.(2)略22a1b110,a3b310,1a,32b,31323【火眼金睛】抛物线y=x2-2x+a2的顶点在直线y=2上,求a的值.a正解:∵y=x2-2x+a2=x2-2x+()2+a2-()2=(x-)2+a2-a,∴抛物线的顶点坐标为(,a2-a),又∵抛物线的顶点在直线y=2上,∴a2-a=2,解得a1=2,a2=-1,∵要有意义,∴a=2.aaaaaaa【一题多解】已知:抛物线交x轴于点A(-4,0),B(2,0),交y轴于点C(0,6),求该抛物线的表达式.解:方法一:设抛物线表达式为y=ax2+bx+c,把A(-4,0),B(2,0),C(0,6)代入得,解得∴抛物线表达式为:y=-x2-x+6.16a4bc0,4a2bc0,c6,3a43b,2c6，，3432方法二:设抛物线表达式为y=a(x-2)(x+4),把C(0,6)代入得a×(-2)×4=6,解得a=-,∴抛物线表达式为y=-(x-2)(x+4)=-x2-x+6.方法三:略34343432