2020版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理课件 新人教A版必修5

课标要求1．掌握正弦定理并能应用它解三角形．2．会判断三角形的形状．3．能根据正弦定理确定三角形的解的个数．知识导图学法指导1.由研究特殊的三角形到一般的三角形，从而得到任意三角形的边角之间的数量关系．注意体会利用向量的运算证明正弦定理．2．已知两边和其中一边的对角解三角形时，注意对解的个数进行确定，常用到“大边对大角”“三角形内角和为180°”．3．在解三角形时应养成作图分析的习惯.知识点一正弦定理及常见变形文字语言在一个三角形中，各边和它所对应角的____的比相等符号语言asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)常见变形a＝2RsinA，b＝________，c＝________，sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，A：b：c＝________________，a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R正弦2RsinB2RsinCsinA：sinB：sinC状元随笔正弦定理的理解(1)适应范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：是分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与所对角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．知识点二解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________．元素解三角形状元随笔在三角形中，我们还可能用到下列已知结论：(1)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即在△ABC中，a＋bc，|a－b|c.(2)大边对大角ab⇔AB⇔sinAsinB，cosAcosB.(3)在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋B2＝π2－C2⇒sin(A＋B)＝sinC,cos(A＋B)＝－cosC,sinA＋B2＝cosC2.[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，若sinAa＝cosBb＝cosCc，则A＝90°.()√解析：由正弦定理可知，sinB＝cosB，sinC＝cosC，所以B＝C＝45°，故A＝90°.(2)在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则a＝b.()×解析：由sin2A＝sin2B可得A＝B或2A＋2B＝π，所以a＝b或a2＋b2＝c2.(3)在△ABC中，若sinAsinB，则AB；反之，若AB，则sinAsinB．()√解析：在△ABC中，sinAsinB⇔ab⇔AB.(4)在△ABC中，asinA＝b＋csinB＋sinC.()√解析：因为asinA＝bsinB＝csinC，所以asinA＝b＋csinB＋sinC.2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，B＝45°，a＝32，则b＝()A.32B.3C．23D．43答案：C3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝22，则c＝()A.22B．1C.2D．2答案：D4．在△ABC中，A：B：C＝4：1：1，则a：b：c＝()A．4：1：1B．2：1：1C.2：1：1D.3：1：1解析：由A：B：C＝4：1：1且A＋B＋C＝π，得A＝2π3，B＝π6，C＝π6，所以sinA＝32，sinB＝12，sinC＝12.又由a：b：c＝sinA：sinB：sinC得，a：b：c＝3：1：1.答案：D类型一已知两角及一边解三角形例1(1)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()A．46B．45C．43D.223(2)在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．【解析】(1)A＝180°－B－C＝180°－60°－75°＝45°，∴由正弦定理可得b＝asinBsinA＝8×3222＝46.由三角形内角和定理可知，只要知道其中两角的值，就一定能求出第三角的值．(2)由题意，因为B＝45°，C＝60°，所以A＝180°－B－C＝75°，最短边为b，由正弦定理，得b＝csinBsinC＝1×sin45°sin60°＝63.【答案】(1)A(2)63方法归纳已知两角和任意一边解三角形的方法(1)由三角形内角和定理可以计算出三角形的第三个角；(2)由正弦定理可计算出三角形的另两边．跟踪训练1(1)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，sinB＝12，C＝π6，则b＝________.解析：(1)因为sinB＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6，又C＝π6，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3，又a＝3，由正弦定理得asinA＝bsinB，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.答案：(1)1(2)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.解析：(2)由tanA＝2，得sinA＝2cosA，所以sin2A＝4cos2A＝4－4sin2A，所以sinA＝±255.因为∠A为△ABC的内角，所以sinA＝255.由正弦定理得a＝bsinB×sinA＝210.答案：(2)255210类型二已知两边和其中一边的对角解三角形例2在△ABC中，解三角形．(1)b＝4，c＝8，B＝30°；(2)a＝2，b＝2，A＝30°；(3)a＝5，b＝2，B＝120°.【解析】(1)由正弦定理，得sinC＝c·sinBb＝8sin30°4＝1.∵30°C150°，∴C＝90°.从而A＝180°－(B＋C)＝60°.a＝c2－b2＝43.∴C＝90°，A＝60°，a＝43.(2)由asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝2sin30°2＝22，∵ab，∴BA＝30°，∴B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，又csinC＝asinA，∴c＝asinCsinA＝2sin105°sin30°＝2sin75°sin30＝2×6＋2412＝3＋1.当B＝135°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋135°)＝15°，∴c＝asinCsinA＝2sin15°sin30°＝2×6－2412＝3－1.∴B＝45°，C＝105°，c＝3＋1或B＝135°，C＝15°，c＝3－1.(3)解法一：由asinA＝bsinB得，sinA＝asinBb＝5sin120°2＝5×322＝5341，∴无解．解法二：∵ba，∴AB＝120°，∴A＋B240°，与A＋B＋C＝180°矛盾．∴无解．解法三：asinB＝5sin120°＝532，又∵basinB，∴无解．可先由正弦定理求得另一已知边对角的正弦值，然后判断该角有几个解，可能一解，也可能两解或无解．方法归纳已知两边和其中一边的对角解三角形的方法已知a，b，A，解三角形．(1)根据已知条件判断解的情况，有解的条件下利用asinA＝bsinB，求B.(一解或两解)(2)由A＋B＋C＝π，求C.(3)由asinA＝csinC，求c.注意：“大边对大角”的运用．跟踪训练2(1)已知△ABC中，a＝23，b＝6，A＝π6，角B等于()A.π3B.π4C.π3或2π3D.π6或5π6(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．解析：(1)sinB＝bsinAa＝6×1223＝32，∵ba，∴BA＝π6，∴B＝π3或2π3.(2)由sinB＋cosB＝2，得sinB＋π4＝1，由B∈(0，π)，得B＝π4，由正弦定理，asinA＝bsinB，得sinA＝asinBb＝12，又ab，所以A＝π6.答案：(1)C(2)π6类型三判断三角形的形状例3在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．【解析】因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，所以b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，所以2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，所以sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，所以sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B.在△ABC中，02A2π，02B2π，所以2A＝2B或2A＝π－2B.所以A＝B或A＋B＝π2.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．注意到a，b在条件式中是齐次的，因此可以考虑利用正弦定理将边化为角，通过角的特征或者关系来判断三角形的形状.方法归纳(1)边角互化是正弦定理的功能之一．(2)根据已知条件判断三角形的形状时，若条件式子中有边又有角，往往先进行统一，把边都化为角或把角都化为边，通过变换得到角之间的关系或边之间的关系，从而判断三角形的形状．(3)在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．跟踪训练3已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，满足acosA＝bcosB＝ccosC，判断△ABC的形状．(用两种方法)解析：方法一：由正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC，又acosA＝bcosB＝ccosC，得sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC，即tanA＝tanB＝tanC，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．方法二：由a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆的半径)，得条件等式可化为2RsinAcosA＝2RsinBcosB＝2RsinCcosC，得sinAcosB＝cosAsinB，sinBcosC＝cosBsinC⇒sin(A－B)＝0，sin(B－C)＝0⇒A＝B，B＝C⇒A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．