2020版高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式课件 新人教A版必修5

课标要求1．通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，会用不等式及不等式组表示不等关系．2．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．3．掌握不等式的性质，能运用不等式的性质解决问题．知识导图学法指导1.通过具体的实例，体会不等式符号表示不等关系的简洁性，认识不等式在现实生活中的广泛应用．2．相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础．通过类比，理解等式和不等式的共性与差异，培养学生的逻辑推理、数学建模素养．3．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中的关键步骤是“变形”，当不能“定号”时要分类讨论．4．通过对基本初等函数的性质和图象的回顾，认识不等式性质的本质特征.知识点一不等式的定义用数学符号“____”“____”“____”“____”“____”连接两个____或________以表示它们之间的____关系，含有这些不等号的式子叫做不等式．＞＜≥≤≠数代数式不等状元随笔1.关于a≤b和a≥b的含义(1)不等式a≤b应读作“a小于或等于b”，其含义是指“ab或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若ab与a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．(2)不等于a≥b应读作“a大于或等于b”，其含义是指“ab或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即若ab与a＝b之中有一个正确，则a≥b正确．2．常见的文字语言与数学符号之间的转换文字语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于数学符号＞＜≥≤≤≥≥≤知识点二比较实数a，b的大小1．文字叙述如果a－b是正数，那么a___b；如果a－b等于零，那么a___b；如果a－b是负数，那么a___b，反之也成立．2．符号表示a－b0⇔a___b；a－b＝0⇔a___b；a－b0⇔a___b.＝＝状元随笔上面等价符号的左式反映的是实数运算性质，右式反映的则是实数大小的顺序，合起来就是实数的运算性质与大小顺序之间的关系．它是不等式这一章的理论基础，也是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据．知识点三常用的不等式的基本性质性质1ab⇔b___a(对称性)；性质2ab，bc⇒a___c(传递性)；性质3ab⇔a＋c___b＋c(可加性)性质4ab，c0⇒ac___bc；ab，c0⇒ac___bc；性质5ab，cd⇒a＋c___b＋d；性质6ab0，cd0⇒ac___bd；性质7ab0，n∈N，n≥1⇒an___bn；性质8ab0，n∈N，n≥2⇒na___nb.状元随笔1.性质3,5称为不等式的加法单调性，性质4,6,7,8称为不等式的乘法单调性．2．理解不等式的性质成立的条件以及是否具有可逆性是掌握不等式性质的关键，例如：(1)性质6，不但要求两个不等式同向，而且要求a，b，c，d均大于0，否则，结论不一定成立．(2)性质7，若忽略n∈N，n≥1，就会得出错误的结论，如取a＝3.b＝2，n＝－1，则有3－12－1，即1312的错误结论．(3)除了性质1和性质3，其他性质都不可逆．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.()(2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(3)若ab或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．()(4)若ab，则acbc一定成立．()(5)若a＋cb＋d，则ab，cd.()×√√××2．已知M＝x2－3x＋7，N＝－x2＋x＋1则()A．MNB．MNC．M＝ND．M，N的大小与x的取值有关解析：M－N＝x2－3x＋7＋x2－x－1＝2(x2－2x＋3)＝2(x－1)2＋40，故MN.答案：B3．某高速公路要求行驶车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为()A．v≤120km/h，且d≥10mB．v≤120km/h，或d≥10mC．v≤120km/hD．d≥10m解析：v的最大值为120km/h，即v≤120km/h，d不得小于10m，即d≥10m.答案：A4．给定下列命题：①ab⇒a2b2；②a2b2⇒ab；③ab⇒ba1；④ab⇒1a1b.其中正确的命题个数是()A．0B．1C．2D．3解析：由性质7可知，只有当ab0时，a2b2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a0且ab时，ba1才成立，故③错误；当a0，b0时，④错误．答案：A类型一用不等式表示不等关系例1某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．【解析】设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则x＋y≤9，10×6x＋6×8y≥360，0≤x≤4，x∈N，0≤y≤7，y∈N，即x＋y≤9，5x＋4y≥30，0≤x≤4，x∈N，0≤y≤7，y∈N.首先确定每天派出甲、乙两种型号车辆作为变量，由题意可知有4种不等关系：①车辆数与驾驶员人数的关系；②每天运矿石数量的要求；③甲型车辆总数；④乙型车辆总数．方法归纳本题中驾驶员的人数限制了卡车的数量，所以甲型卡车和乙型卡车的数量总和不能超过驾驶员的人数，这个不等关系容易被忽略，在解决此类问题时，一定要留意题目中的每个数字，弄清其出现的意义，完整地写出所有的不等式．跟踪训练1配制A，B两种药剂，需要甲，乙两种原料．已知配一剂A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，y∈N)，请写出x，y应满足的不等关系式．解析：根据题意可得3x＋5y≤20，5x＋4y≤25，x≥1，x∈N，y≥1，x∈N.类型二比较大小例2(1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小；(2)已知a0，b0，比较aabb与abba的大小．【解析】(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．由x≤1得x－1≤0，而3x2＋10.所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1.(2)因为a0，b0，所以aabb0，abba0.所以aabbabba＝aa－bba－b＝aba－b.讨论：①当ab时，ab1，a－b0，所以aba－b1.所以aabbabba.②当a＝b时，ab＝1，a－b＝0，所以aba－b＝1.所以aabb＝abba.③当ab时，0ab1，a－b0，所以aba－b1.所以aabbabba.综上可知，当a0，b0时，aabb≥abba.(1)是比较两个整式的大小，可用作差法．(2)是比较两个幂式的大小，可用作商法．方法归纳(1)利用作差法比较大小的一般步骤为作差——变形——定号——结论．变形的目的是能判断符号，变形越彻底就越易判断符号．常用方法为配方、平方差公式、立方差、立方和公式、通分、因式分解、分子(或分母)有理化等．(2)作商法比较大小一般适用于含幂式、积式、分式且符号确定的数或式的大小的比较，作商后可变形为能与1比较大小的式子．跟踪训练2(1)将本例(1)中的条件“x≤1”改为“x∈R”，试比较x3－1与2x2－2x的大小．(2)已知a，b为正实数，试比较ab＋ba与a＋b的大小．解析：(1)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)x－122＋34.当x1时，x3－12x2－2x；当x1时，x3－12x2－2x；当x＝1时，x3－1＝2x2－2x.(2)方法一(作差法)：ab＋ba－(a＋b)＝ab－b＋ba－a＝a－bb＋b－aa＝a－ba－bab＝a－b2a＋bab.∵a，b为正实数，∴a＋b0，ab0，(a－b)2≥0，∴a－b2a＋bab≥0，∴ab＋ba≥a＋b.方法二(作商法)：ba＋aba＋b＝b3＋a3aba＋b＝a＋ba＋b－ababa＋b＝a＋b－abab＝a－b2＋abab＝1＋a－b2ab≥1.∵ba＋ab0，a＋b0，∴ba＋ab≥a＋b.方法三(平方后作差)：∵ab＋ba2＝a2b＋b2a＋2ab，(a＋b)2＝a＋b＋2ab，∴ab＋ba2－(a＋b)2＝a＋ba－b2ab.∵a0，b0，∴a＋ba－b2ab≥0，又ab＋ba0，a＋b0，故ab＋ba≥a＋b.类型三不等式性质的简单应用例3(1)以下条件一定能推出ab的是()A．(a－b)a20B．a2b2C.1a1bD．acbc(2)若ab0，cd0，e0，求证：ea－c2eb－d2.(3)已知－1x4,2y3.①求x－y的取值范围．②求3x＋2y的取值范围．【解析】(1)选A.对于A项，显然a20，必有ab；对于B项，a2b2⇔|a||b|，当a，b均为负值时，有ab；对于C项，若a0，b0，有1a1b，但不能推出ab；对于D项，若c0，显然有ab.(2)证明：因为cd0，所以－c－d0.又ab0，所以a－cb－d0，则(a－c)2(b－d)20，即1a－c21b－d2.又e0，所以ea－c2eb－d2.(3)①因为－1x4,2y3，所以－3－y－2，所以－4x－y2.②由－1x4,2y3，得－33x12,42y6，所以13x＋2y18.状元随笔(1)要得到准确判断，必须严格遵循不等式的性质，切忌凭感觉，想当然．(2)先将已知的反向不等式化为同向不等式相加构造出a－c，b－d后再逐步利用不等式性质化为待证不等式．(3)根据已知条件通过乘系数，相加即可得出所求式的范围.方法归纳1．利用性质证明不等式，本质上还是比较大小，所不同的是比较大小的目标不明确，而证明不等式的目标明确．(1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．(2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．2．利用不等式性质求范围的一般思路(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；(3)结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练3(1)已知a＋b0，b0，那么a，b，－a，－b的大小关系是()A．ab－b－aB．a－b－abC．a－bb－aD．ab－a－b(2)若bc－ad≥0，bd0，求证：a＋bb≤c＋dd.(3)若－π2αβ≤π2，则α－β2的取值范围是________．解析：(1)法一：因为A、B、C、D四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，所以可用特殊值法．令a＝2，b＝－1，则有2－(－1)－1－2，即a－bb－a.法二：因为a＋b0，b0，所以a－b0，－ab0，所以a－b0b－a，即a－bb－a.(2)证明：因为bc－ad≥0，所以bc≥ad，所以bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)．又bd0，两边同除以bd得，a＋bb≤c＋dd.(3)因为－π2αβ≤π2，则－π2απ2，－π2≤－β＜π2，α－β＜0⇒－π2＜α