2020版高中数学 第二章 数列 2.2.2 等差数列的性质及简单应用课件 新人教A版必修5

知识点一等差数列中项与序号的关系1．两项关系an＝am＋________d(m，n∈N*)．2．多项关系若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)则an＋am＝________.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝____.3．对称关系在有穷等差数列中，与首末两项“________”的两项之和等于____与____的和．即a1＋an＝a2＋____＝a3＋____＝….(n－m)ap＋aq2ap等距离首项末项an－1an－2状元随笔(1)若已知等差数列{an}中任意两项an、am，则公差d＝an－amn－m.(2)若等差数列{an}的项数为偶数，则首末两项“等距离”的两项之和等于中间两项之和，若项数为奇数，则它们都等于中间项的二倍，即中间项是与它“等距离”的任意两项的等差中项．知识点二等差数列的性质性质1若{an}为公差为d的等差数列，则{can}是公差为cd的等差数列性质2若{an}为公差为d的等差数列，则{an＋an＋k}是公差为2d的等差数列性质3若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为____性质4若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan＋qbn}是以________为公差的等差数列性质5若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为____的等差数列性质6当d__0时，数列{an}为单调递增数列；当d____0时，数列{an}为单调递减数列；当d＝0时，数列{an}为常数列2dpd1＋qd2md状元随笔若{an}是公差为d的等差数列，则还具有其他性质(1)am＋n－an＝am＋k－ak＝md(m，n，k∈N*)(2)下标成等差数列则数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k…成等差数列，公差为kd(m，k∈N*)．(3){an}是等差数列，则a1，a3，a5…仍成等差数列(首项不一定选a1)．(4)若{bn}为等差数列，则{an±bn}，{kan＋b}(k，b为非零常数)也为等差数列．(5){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列．(6)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列．(7)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．()(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．()(3)在等差数列{an}中，若m＋n＝r，m，n，r∈N*，则am＋an＝ar.()(4)若数列{an}是等差数列，则a1，a3，a5，a7，a9是等差数列．()×××√2．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()A．4B．5C．6D．7解析：a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6.答案：C3．在等差数列{an}中，若a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于()A．－9B．－8C．－7D．－4解析：由a6＝a4＋6得2d＝6，解得d＝3.又a2＝a1＋d＝－5，所以a1＝－8.答案：B4．在等差数列{an}中，a3＋3a8＋a13＝120，则a3＋a13－a8等于()A．24B．22C．20D．－8解析：根据等差数列的性质可知a3＋a13＝2a8，所以已知等式可变为2a8＋3a8＝120，解得a8＝24，所以a3＋a13－a8＝2a8－a8＝a8＝24.答案：A类型一等差数列性质的应用例1(1)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35(2)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.【解析】(1)利用等差数列性质可知a3＋a4＋a5＝3a4＝12，所以a4＝4，所以a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.(2)方法一：因为{an}为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项，所以a60＝a15＋3d，得d＝4，所以a75＝a60＋d＝24.方法二：设等差数列{an}的公差为d.a60＝a15＋45d，所以20＝8＋45d，所以d＝415，a75＝a15＋60d＝8＋60×415＝24.【答案】(1)C(2)24(1)a1＋a7＝a3＋a5＝2a4；(2)a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列．方法归纳等差数列运算的两种常用思路(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.跟踪训练1(1)已知等差数列{an}中，①若a12＝31，a32＝151，求a42的值．②若a1＝5，d＝3，an＝2018，求n.(2)已知{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8的值．解析：(1)①因为a32－a12＝20d＝151－31＝120，所以d＝6.所以a42＝a12＋30d＝31＋30×6＝211.②由an＝a1＋(n－1)d，得2018＝5＋(n－1)·3，所以3n＝2016.所以n＝672.(2)因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，由等差数列的性质知a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，所以5a5＝450.所以a5＝90.所以a2＋a8＝2a5＝180.答案：(1)①211②672(2)180类型二等差数列中对称设项法的应用例2已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．【解析】设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则a－3d2＋a－d2＋a＋d2＋a＋3d2＝94，a－3da＋3d＋18＝a－da＋d，又递增数列d0，所以解得a＝±72，d＝32，此等差数列为－1，2,5,8或－8，－5，－2,1.四个数成等差数列可依次设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时d并非公差，公差为2d.方法归纳当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间的一项为a，再以d为公差向两边分别设项，即设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列的项数n为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以2d为公差向两边分别设项，即设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….跟踪训练2已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数．解析：设这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，则a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，a－2d2＋a－d2＋a2＋a＋d2＋a＋2d2＝165，即a＝1，5a2＋10d2＝165，解得a＝1，d＝4或a＝1，d＝－4.当a＝1，d＝4时，这5个数分别为－7，－3,1,5,9；当a＝1，d＝－4时，这5个数分别为9,5,1，－3，－7.类型三等差数列的综合问题例3已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号被4除余3的项组成数列{bn}．(1)求b1和b2；(2)求数列{bn}的通项公式；(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？【解析】(1)由题意，等差数列{an}的通项公式为an＝3－5(n－1)＝8－5n，设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m＝4n－1，n∈N*.所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b2＝a7＝8－5×7＝－27.(2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，所以数列{bn}也为等差数列，且首项为b1＝－7，公差为d′＝－20，所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.(3)因为m＝4n－1，n∈N*，所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439，所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项.被4除余3的数可以表示为4n－1，故b1＝a3，b2＝a7，bn＝a4n－1.方法归纳(1)已知等差数列{an}的基本量后，求解由{an}的部分项构成的数列{bn}的通项公式，首先要搞清{bn}中的项是由{an}中的哪些项构成，从而确定数列{bn}的特性(公差)是解决本题的关键．(2)有关两个等差数列公共项问题，处理办法有两种，一是将公共项组成等差数列；二是从通项公式入手，利用最小公倍数，建立am＝bn这样的方程，再求一定范围内的整数解．跟踪训练3已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式．解析：(1)设等差数列的公差为d.因为a1＋a2＋a3＝12，所以a2＝4，因为a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d，所以d＝2，所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.故an＝2n.(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.当n1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.所以数列{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.故bn＝4n.