2020版高中数学 第二章 数列 2.1.1 数列的概念与简单表示法课件 新人教A版必修5

课标要求1．通过实例，了解数列的概念．2．理解数列通项公式的概念，能根据数列的前几项写出数列的通项公式．能根据数列的通项公式研究数列中有关项的问题．3．知道递推公式是给出数列的一种方法．并能根据数列的递推公式写出数列的项或通项公式．知识导图学法指导1.根据数列与集合之间的区别与联系，切实把握数列的概念及其表示方法．2．通过观察具体数列，分析、归纳数列的项的变化规律，认识数列的通项公式．3．通过对折纸问题，数学文化中的形数问题和斐波那契数列的分析，理解数列的概念，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性，形成直观想象等核心素养．第一课时数列的概念与简单表示法知识点一数列的概念及分类1．数列的有关概念(1)数列：按照________排列的一列数．(2)数列的项：数列中的________．(3)数列的项的序号：数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第____项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第____项……排在第n位的数称为这个数列的第____项，所以数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．一定顺序每一个数12n2．数列的分类(1)按项的个数分类类别含义有穷数列项数____的数列无穷数列项数____的数列有限无限(2)按项的变化趋势分类类别含义递增数列从第2项起，每一项都____它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都____它的前一项的数列常数列各项____的数列摆动数列从第2项起，有些项____它的前一项，有些项小于它的前一项的数列大于小于相等大于状元随笔(1)构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置．(2){an}与an表示的含义不同，{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，而an只表示数列{an}的第n项．(3)数列与数集的区别主要有两点：①集合中的数无序，数列则有序排列②集合中的数不重复，数列中则可以重复出现．知识点二数列的通项公式1．数列与函数的关系序号1234…n…项a1a2a3a4…an…所以数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数________，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3,4，…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(n)，….an＝f(n)2．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．序号n状元随笔(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n)为定义域的函数解析式．(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．(3)有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是惟一的．如数列－1,1，－1,1，…，它可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n＋2等．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同一数列的任意两项均不可能相同．()(2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．()(3)数列中的每一项都与它的序号有关．()(4)an与{an}是不同的概念．()(5)所有的数列都有通项公式，且通项公式在形式上一定是唯一的．()××√√×2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A．1，13，19，127，…B．sin17π，sin27π，sin37π，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，21解析：A选项中的数列是递减数列，B选项中的数列是摆动数列，D选项中的数列是有穷数列，只有C选项中的数列是无穷数列且是递增数列，故选C.答案：C3．已知数列{an}的通项公式为an＝1＋－1n＋12，则该数列的前4项依次为()A．1,0,1,0B．0,1,0,1C.12，0，12，0D．2,0,2,0解析：当n分别等于1,2,3,4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.答案：A4．数列0，－13，12，－35，23，…的通项公式为()A．an＝(－1)n·n－2n＋1B．an＝(－1)n＋1·n－1n＋2C．an＝(－1)n－1·n－1n＋1D．an＝(－1)n－1·n－2n＋2解析：奇数项为正，偶数项为负，应用(－1)n－1表示，又各项绝对值可依次写成02，13，24，35，46，…，显然第n项绝对值为n－1n＋1.答案：C类型一数列的概念以及分类例1(1)下列说法正确的是()A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}．B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．C．数列－1,3,6，－5的第三项为6.D．数列可以看成是一个定义域为正整数集N*的函数．【解析】(1)数列不是集合，A错；顺序不同是不同的数列，B错；数列看成函数时，有穷数列的定义域是N*的子集，D错．【答案】(1)C(2)下列数列①1,2,22,23，…，263；②1,0.5,0.52,0.53，…；③0,10,20,30，…，1000；④2,4,6,8,10，…；⑤－1,1，－1,1，－1，…；⑥7,7,7,7，…；⑦13，19，127，181，….其中有穷数列是________，无穷数列是__________，递增数列是__________，递减数列是__________，摆动数列是__________，常数列是__________．(填序号)．①③②④⑤⑥⑦①③④②⑦⑤⑥【解析】(2)根据数列的概念知有穷数列是①③，无穷数列是②④⑤⑥⑦，递增数列是①③④，递减数列是②⑦，摆动数列是⑤，常数列是⑥.【答案】(2)①③②④⑤⑥⑦①③④②⑦⑤⑥状元随笔有穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，an或an＝f(n)(定义域为正整数集的有限子集{1,2，…，n})；无穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，an，…或an＝f(n)(n＝1,2,3，…)，即对于有穷数列，要把末项(有穷数列的最后一项)写出；对于无穷数列，无法写出末项，要用“…”结尾.方法归纳数列分类的方法及判断技巧(1)根据数列的项数可分为：①项数有限的数列是有穷数列；②项数无限的数列是无穷数列．(2)根据变化趋势可分为：①若数列{an}满足anan＋1，则是递增数列；②若数列{an}满足anan＋1，则是递减数列；③若数列{an}满足an＝an＋1，则是常数列；④若数列{an}从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，则是摆动数列．提醒：(1)集合中的数是无序的，元素又是互异的；而数列中的数是严格按照顺序排列的，项与项可以是相同的．(2)组成数列的数相同，而且排列次序也相同，满足这两个条件才是相同的数列．跟踪训练1(1)下列说法错误的是()A．数列4,7,3,4的首项是4B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3C．数列1,2,3，…就是数列{n}D．数列中的项不能是三角形解析：(1)根据数列的相关概念，数列4,7,3,4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．答案：(1)B(2)已知数列①0,1,2,3，…；②1，12，13，14，…；③－1,1，－1,1，－1,1，…；④5,5,5,5,5….其中，________是递增数列，________是递减数列，________是摆动数列，________是常数列(填序号)．解析：(2)根据数列的定义，观察数列中的项随序号变化的情况求解．①是递增数列，②是递减数列，③是摆动数列，④是常数列．答案：(2)①②③④类型二用观察法求数列的通项公式例2写出下面各数列的一个通项公式：(1)9,99,999,9999，…；(2)1，－3,5，－7,9，…；(3)12，2，92，8，252，…；(4)3,5,9,17,33，….【解析】(1)各项加1后，变为10,100,1000，10000，…，新数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，其通项公式为2n－1；考虑到(－1)n＋1具有转换正负号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．(3)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以，它的一个通项公式为an＝n22.(4)3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，…，所以原数列的一个通项公式为an＝2n＋1.根据数列的前几项求通项公式，其实就是观察这些项与其对应的序号间关系的规律，并将此规律归纳出来，当规律不易观察总结时，应对原来的各项适当变形．方法归纳根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法首先从下面4个角度观察数列的前几项：(1)各项的符号特征；(2)各项能否分拆；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相邻项的变化规律．其次寻找各项与对应的项的序号之间的规律，一般方法为：(1)熟记一些特殊数列的通项公式，如an＝10n－19，an＝n，an＝2n－1，an＝2n，an＝n2等，熟悉它们的变化规律，并灵活运用；(2)将数列的各项分拆成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”，如分式形式的数列，可将分子、分母分别求通项；(3)当一个数列各项的符号出现“＋”“－”相间时，应把符号分离出来，可用(－1)n或(－1)n＋1来实现；(4)当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时，可以考虑用分段的形式给出，也可以将给出的各项统一化成某种形式．跟踪训练2根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9,11,13，…；(2)23，415，635，863，1099，…；(3)0,1,0,1,0,1…；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9，…；(5)2，－6,12，－20,30，－42，….解析：(1)从3开始的奇数列，an＝2n＋1；(2)分子为偶数，分母为相邻两奇数的积an＝2n2n－12n＋1；(3)an＝1＋－1n2或an＝sinn－12π；(4)将数列变形为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1，……，所以an＝n＋1＋－1n2；(5)将数列变形为1×2，－2×3,3×4，－4×5,5×6，……，所以an＝(－1)n＋1n(n＋1)．类型三数列中项的求解与判断例3已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？(3)数列{an}中有多少个负数项？【解析】(1)a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60.(2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝73(舍去)，所以n＝7，即－49是该数列的第7项．令3n2－28n＝68，解得n＝343或n＝－2.因为343∉N*，－2∉N*，所以68不是该数列的项．(3)an＝n(3n－28)，令an0，又n∈N*，n283，解得n＝1,2,3,4,5,6,7,8,9，即数列{an}中有9个负数项．状元随笔(1)分别将n＝4，n＝6代入通项公式，即可求得a4，a6；(2)令an＝－49，an＝68，分别求得n的值，若n∈N*，则是数列的项，否则不是该数列的项；(3)令an0，求出n的范围，范围内正整数的个数即数列{an}中负数项的个数.方法归纳求项或判断某数是否为数列的项的方法(1)如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．(2)判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项．跟踪训练3已知数列{an