2020版高考数学一轮复习 第一篇 集合与常用逻辑用语 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量课

第一篇集合与常用逻辑用语(必修1、选修1-1)返回导航第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定.返回导航【教材导读】1．一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论．返回导航2．判断全称命题真假用什么方法？提示：(1)判断全称命题为真时要用定义法，对给定集合内每一个元素x，p(x)都为真．(2)判断全称命题为假时要用代入法，对给定集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假．返回导航3．判断特称命题真假用什么方法？提示：代入法．在给定集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，则特称命题为真，否则为假．返回导航4．命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”格式正确吗？提示：不正确，“菱形的对角线相等”是全称命题，否定时应改为特称命题，即“有的菱形的对角线不相等”．返回导航1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“且”“或”“非”．返回导航(2)命题真值表：pqp∧qp∨q¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真返回导航2.量词与含有一个量词的命题的否定(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等∀存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等∃返回导航(2)全称命题和特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)返回导航(3)全称命题和特称命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，¬p(x)返回导航【重要结论】含逻辑联结词命题真假判断(1)p∧q中一假则假，全真才真．(2)p∨q中一真则真，全假才假．(3)p与¬p真假性相反．返回导航1．(2017高考山东卷)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()(A)p∧q(B)p∧¬q(C)¬p∧q(D)¬p∧¬q返回导航B解析：当x＞0时，x＋1＞1，因此ln(x＋1)＞0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a＞b，显然a2＞b2不成立，因此q为假命题．易知B为真命题．返回导航2．(2016高考浙江卷)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()(A)∀x∈R，∃n∈N*，使得nx2(B)∀x∈R，∀n∈N*，使得nx2(C)∃x∈R，∃n∈N*，使得nx2(D)∃x∈R，∀n∈N*，使得nx2返回导航D解析：利用特称命题和全称命题的关系求解所给命题的否定形式．由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得nx2”．返回导航3．命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy，下列命题为假命题的是()(A)p或q(B)p且q(C)q(D)¬p返回导航B解析：取x＝π3，y＝5π6，可知命题p不正确；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q正确，故¬p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题，故选B.返回导航4．命题p：“∃x∈R，x2－x＋1＞0”的否定¬p为___________________．解析：存在性命题的否定是全称命题，否定结论．命题p：“∃x∈R，x2－x＋1＞0”的否定¬p为“∀x∈R，x2－x＋1≤0”．答案：“∀x∈R，x2－x＋1≤0”返回导航5．命题“∃x∈R，2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________________．解析：“∃x∈R，2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则“∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0”为真命题，因此，Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤22.答案：[－22，22]返回导航考点一含有逻辑联结词命题真假的判断(1)已知命题p：函数y＝2－ax＋1(a＞0且a≠1)恒过点(1，2)；命题q：若函数f(x－1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，则下列命题为真命题的是()(A)p∧q(B)¬p∧¬q(C)¬p∧q(D)p∧¬q返回导航(2)已知命题p1：当x，y∈R时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0；p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是()(A)q1，q3(B)q2，q3(C)q1，q4(D)q2，q4返回导航(1)B解析：当x＝1时，y＝2－a2≠2，所以命题p为假，故¬p为真；由函数f(x－1)是偶函数知，函数y＝f(x－1)的图象关于y轴对称，由函数图象的平移法则知，y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以命题q为假，故¬q为真．所以¬p∧¬q为真．故选B.返回导航(2)C解析：解法一对于p1，(充分性)若xy≥0，则x，y至少有一个为0或同号，所以|x＋y|＝|x|＋|y|一定成立；(必要性)若|x＋y|＝|x|＋|y|，两边平方，得x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2，所以xy＝|xy|，所以xy≥0.故p1为真命题．对于p2，y′＝2xln2－12xln2＝2x－12xln2，当x∈[0，＋∞)时，2x≥12x，又ln2＞0，所以y′≥0，所以函数单调递增；同理，当x∈(－∞，0)时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．返回导航解法二p1是真命题，同解法一．对于p2：由于y＝2x＋2－x≥22x·2－x＝2(等号在x＝0时取得)，故函数在R上有最小值2，故这个函数一定不是单调函数，p2是假命题，由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．返回导航【反思归纳】(1)先判定命题p与q的真假，再由含有逻辑联结词命题的真值表进行判断．(2)分别判定p与q的真假．再判定复合命题的真假．返回导航【即时训练】命题p：函数f(x)＝x3－3x在区间(－1，1)内单调递减，命题q：函数f(x)＝|sin2x|的最小正周期为π，则下列命题为真命题的是()(A)p∧q(B)(¬p)∨q(C)p∨q(D)(¬p)∧(¬q)返回导航解析：由f′(x)＝3x2－3＜0，解得－1＜x＜1，故函数f(x)＝x3－3x在区间(－1，1)内单调递减，即命题p为真命题；函数y＝sin2x的最小正周期为π，则函数f(x)＝|sin2x|的最小正周期为π2，即命题q为假命题．由于p真、q假，故p∧q为假命题，p∨q为真命题；由于¬p假、q假，故(¬p)∨q为假命题；由于¬p假，¬q真，故(¬p)∧(¬q)为假命题．故选C.返回导航考点二全称命题、特称命题考查角度1：全称命题、特称命题真假判断．下列四个命题：p1：∃x0∈(0，＋∞)，12x0＜13x0；p2：∃x0∈(0，1)，log12x0＞log13x0；返回导航p3：∀x∈(0，＋∞)，(12)x＞log12x；p4：∀x∈0，13，12x＜log13x.其中的真命题是()(A)p1，p3(B)p1，p4(C)p2，p3(D)p2，p4返回导航D解析：对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有12x0＞13x0成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝12时，有1＝log1212＝log1313＞log1312成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数y＝12x与对数函数y＝log12x在(0，＋∞)上的图像，可以判断p3是假命题；对于p4，结合指数函数y＝12x与对数函数y＝log13x在0，13上的图像可以判断p4是真命题．返回导航【反思归纳】全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．返回导航考查角度2：全称命题、特称命题的否定．(1)若命题p：∃x∈R，x3＞1－x2，则¬p为()(A)∀x∈R，x3＜1－x2(B)∀x∈R，x3≤1－x2(C)∃x∈R，x3＜1－x2(D)∃x∈R，x3≤1－x2(2)若命题p：∀x＞0，lnx－x＋1≤0，则¬p为________．返回导航解析：B(1)特称命题的否字为全称命题，修改量词，否定结论，故若命题p：∃x∈R，x3＞1－x2，则¬p为∀x∈R，x3≤1－x2，故选B.(2)∃x＞0，lnx－x＋1＞0.返回导航【反思归纳】全称命题与特称命题的否定(1)否定量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．返回导航考点三依据命题的真假求参数的取值范围设p：关于x的不等式ax＞1的解集是{x|x＜0}；q：函数y＝ax2－x＋a的定义域为R.若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．返回导航解：根据指数函数的单调性，可知命题p为真命题时，实数a的取值集合为P＝{a|0＜a＜1}，对于命题q：函数的定义域为R的充要条件是ax2－x＋a≥0恒成立．当a＝0时，不等式为－x≥0，解得x≤0，显然不成立；当a≠0时，不等式恒成立的条件是a＞0，Δ＝（－1）2－4a×a≤0，，解得a≥12.返回导航所以命题q为真命题时，a的取值集合为Q＝{a|a≥12}．由“p∨q是真命题，p∧q是假命题”，可知命题p，q一真一假，当p真q假时，a的取值范围是P∩(∁RQ)＝{a|0＜a＜1}∩{a|a＜12}＝{a|0＜a＜12}；返回导航当p假q真时，a的取值范围是(∁RP)∩Q＝{a|a≤0或a≥1}∩{a|a≥12}＝{a|a≥1}．综上，a的取值范围是(0，12)∪[1，＋∞)．返回导航【反思归纳】根据命题的真假求参数取值范围的求解策略(1)含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)简单命题的真假，求出此时命题成立的参数的取值范围，再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围．(2)全称命题可转化为恒成立问题．返回导航【即时训练】(1)已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“(¬p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()(A)a≤－2或a＝1(B)a≤2或1≤a≤2(C)a＞1(D)－2≤a≤1(2)已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的正实数根，命题q：方程4x2＋4(m＋2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，则实数m的取值范围是________．返回导航解析：(1)由题意得¬p：∃x0∈[1，2]，x20－a＜0.∴a＞x20∈[1，4]，∴a＞1.q为真，即x2＋2ax＋2－a＝0有根，∴Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，∴a≥1或a≤－2.∴(¬p)∧q是真命题，∴a＞1.故选C.返回导航(2)由“p或q”为真命题，得p为真命题或q为真命题．当p为真命题时，设方程x2＋mx＋1＝0的两根分别为x1，x2则有Δ＝m2－4＞0，x1＋x2＝－m＞0，x1x2＝1＞0，解得m＜－2；当q为真命题时，有Δ′＝16(m＋2)2－16＜0，解得－3＜m＜－1.综上可知，实数m的取值范围是(－∞，－1)．答案：(1)C(2)(－∞，－1)返回导航全称命题与特称命题的否定教材源题：写出下列命题的否定，并判断它们的真假；(1)p：任意两个等边三角形都是相似的；(2)p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2＝0.返回导航解：(1)¬p：存在两个等边三角形，它们不相似，¬p是假命题．(2)¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2≠0.¬p是真命题．返回导航【反思