2020版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理配套课时作业课件

配套课时作业1．(2019·广西模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3bsinA，则△ABC的面积等于()A.12B.32C．1D.34答案A答案解析∵a＝3bsinA，∴由正弦定理得sinA＝3sinBsinA，∴sinB＝13.∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝12acsinB＝12×3×13＝12.故选A.解析2．在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA＋bsinB＜csinC，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案C答案解析根据正弦定理可得a2＋b2＜c2.由余弦定理的推论得cosC＝a2＋b2－c22ab＜0，故C是钝角．解析3．(2019·大连双基测试)△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cosC＝()A.33B．±63C．－63D.63答案D答案解析由正弦定理得ACsinB＝ABsinC，∴sinC＝AB·sinBAC＝2×sin60°3＝33，又ABAC，∴0CB＝60°，∴cosC＝1－sin2C＝63.故选D.解析4．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A.π2B.π3C.π4D.π6答案C答案解析由题可知S△ABC＝12absinC＝a2＋b2－c24，所以a2＋b2－c2＝2absinC.由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，所以sinC＝cosC.∵C∈(0，π)，∴C＝π4.故选C.解析5．在△ABC中，“cosA＝2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的()A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件答案C答案解析在△ABC中，A＝π－(B＋C)，∴cosA＝－cos(B＋C)．又∵cosA＝2sinBsinC，即－cosBcosC＋sinBsinC＝2sinBsinC.∴cos(B－C)＝0，∴B－C＝π2，∴B为钝角．即△ABC为钝角三角形．若△ABC为钝角三角形，当A为钝角时，条件不成立．故选C.解析6．(2019·南阳模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝()A.π3B.3π4C.5π6D.2π3答案D答案解析因为3sinA＝5sinB，由正弦定理可得：3a＝5b，所以a＝5b3.又b＋c＝2a，可得c＝2a－b＝7b3，不妨取b＝3，则a＝5，c＝7，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝52＋32－722×5×3＝－12.因为C∈(0，π)，所以C＝2π3.解析7．(2019·天津模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝()A.725B．－725C．±725D.2425答案A答案解析∵sinC＝sin2B＝2sinBcosB，∴cosB＝sinC2sinB＝c2b＝45，∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝725.故选A.解析8．(2019·河北省名校联考)△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsinB－asinA＝12asinC，则sinB的值为()A．－74B.34C.74D.13答案C答案解析由正弦定理，得b2－a2＝12ac，又c＝2a，所以b2＝2a2，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝34，所以sinB＝74.解析9．设A是△ABC的一个内角，且sinA＋cosA＝23，则这个三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案B答案解析将sinA＋cosA＝23两边平方得sin2A＋2sinA·cosA＋cos2A＝49，又sin2A＋cos2A＝1，故sinAcosA＝－518.因为0Aπ，所以sinA0，则cosA0，即A是钝角．解析10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，b＝2，则△ABC的面积的最大值是()A．1B.3C．2D．4答案B答案解析∵2bcosB＝acosC＋ccosA，∴2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB.∵0Bπ，∴cosB＝12，∴B＝π3.∵cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，b＝2，∴a2＋c2－4＝ac.∵a2＋c2≥2ac，∴2ac－4≤ac，即ac≤4，当且仅当a＝c时等号成立，∴S△ABC＝12acsinB≤12×4×32＝3，故△ABC的面积的最大值为3.解析11．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，b＝3，则c∶sinC等于()A．3∶1B.3∶1C.2∶1D．2∶1答案D答案解析由cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，得2cos2B－3cosB＋1＝0，解得cosB＝1(舍去)或cosB＝12，所以sinB＝32，所以c∶sinC＝b∶sinB＝2∶1.解析12．(2019·唐山模拟)在△ABC中，tanA＝12，cosB＝31010，则sinC＝()A.22B．1C.3D．－2答案A答案解析∵tanA＝120，∴A为锐角，且cosA＝255，sinA＝55，又cosB＝31010，B为△ABC的内角，∴sinB＝1－cos2B＝1010，∴在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝55×31010＋255×1010＝55050＝22.解析13．(2019·北京模拟)在△ABC中，A＝2π3，a＝3c，则bc＝________.答案1答案解析由题意知sin2π3＝3sinC，∴sinC＝12，又0Cπ3，∴C＝π6，从而B＝π6，∴b＝c，故bc＝1.解析14．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为1534，则BC＝________.答案7答案解析由S△ABC＝1534得12×3×AC·sin120°＝1534，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC＝7.解析15．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________.答案π3答案解析解法一：由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝12.∴B＝π3.解析解法二：∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝12.又0Bπ，∴B＝π3.解析16．(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.答案152104答案解析依题意作出图形，如图所示，则sin∠DBC＝sin∠ABC.由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，则sin∠ABC＝154，cos∠ABC＝14.解析所以S△BDC＝12BC·BD·sin∠DBC＝12×2×2×154＝152.因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－14＝BD2＋BC2－CD22BD·BC＝8－CD28，所以CD＝10.由余弦定理，得cos∠BDC＝4＋10－42×2×10＝104.解析17．(2019·大庆模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；(2)求sinA＋π4的值．解(1)因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB.由正、余弦定理，得a＝2b·a2＋c2－b22ac.因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝23.(2)由余弦定理，得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝9＋1－126＝－13.由于0Aπ，答案所以sinA＝1－cos2A＝1－19＝223.故sinA＋π4＝sinAcosπ4＋cosAsinπ4＝223×22＋－13×22＝4－26.答案18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若23cos2A＋cos2A＝0，且△ABC为锐角三角形，a＝7，c＝6，求b的值；(2)若a＝3，A＝π3，求b＋c的取值范围．解(1)∵23cos2A＋cos2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0，∴cos2A＝125，又A为锐角，∴cosA＝15，而a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2－125b－13＝0，解得b＝5(负值舍去)，∴b＝5.答案(2)解法一：由正弦定理可得b＋c＝2(sinB＋sinC)＝2sinB＋sin2π3－B＝23sinB＋π6，∵0B2π3，∴π6B＋π65π6，∴12sinB＋π6≤1，∴b＋c∈(3，23]．答案解法二：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA可得b2＋c2－3＝bc，即(b＋c)2－3＝3bc≤34(b＋c)2，当且仅当b＝c时取等号，∴b＋c≤23，又由两边之和大于第三边可得b＋c3，∴b＋c∈(3，23]．答案19．(2019·山东模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝tanAcosB＋tanBcosA.(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．解(1)证明：由题意知2sinAcosA＋sinBcosB＝sinAcosAcosB＋sinBcosAcosB，化简得2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，即2sin(A＋B)＝sinA＋sinB.因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，从而sinA＋sinB＝2sinC.由正弦定理得a＋b＝2c.答案(2)由(1)知c＝a＋b2，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－a＋b222ab＝38ab＋ba－14≥34－14＝12，当且仅当a＝b时，等号成立．故cosC的最小值为12.答案20．(2019·河南联考)如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2ccosC＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.(1)求线段AD的长；(2)求△ADE的面积．解(1)因为c＝4，b＝2,2ccosC＝b，所以cosC＝b2c＝14.由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋4－164a＝14，所以a＝4，即BC＝4.在△ACD中，CD＝2，AC＝2，所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD＝6，所以AD＝6.答案(2)因为AE是∠BAC的平分线，所以S△ABES△ACE＝12AB·AE·sin∠BAE12AC·AE·sin∠CAE＝ABAC＝2，又S△ABES△ACE＝BEEC，所以BEEC＝2，所以CE＝13BC＝43，DE＝2－43＝23.又因为cosC＝14，所以sinC＝1－cos2C＝154.所以S△ADE＝12×DE×AC×sinC＝156.答案