2020版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及

第4讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用基础知识整合1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示．3．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；φ的变化引起左右平移变换；k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．1．为了得到函数y＝sin2x－π3的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上的所有点()A．向左平行移动π3个单位长度B．向右平行移动π3个单位长度C．向左平行移动π6个单位长度D．向右平行移动π6个单位长度答案D答案解析∵y＝sin2x－π3＝sin2x－π6，∴只需将函数y＝sin2x图象上的所有点向右平移π6个单位长度即可得到函数y＝sin2x－π3的图象．故选D.解析2．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω0，－π2φπ2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()A．2，－π3B．2，－π6C．4，－π6D．4，π3答案A答案解析由图可知，34T＝5π12＋π3＝3π4，T＝π，ω＝2πT＝2.因为点5π12，2在图象上，所以2×5π12＋φ＝π2＋2kπ，φ＝－π3＋2kπ，k∈Z.又－π2φπ2，所以φ＝－π3.故选A.解析3．(2018·西安模拟)已知函数f(x)＝cosωx＋π3(ω0)的最小正周期为π，则该函数的图象()A．关于点π3，0对称B．关于直线x＝π4对称C．关于点π4，0对称D．关于直线x＝π3对称答案D答案解析2πω＝π得ω＝2，函数f(x)的对称轴满足2x＋π3＝kπ(k∈Z)，解得x＝kπ2－π6(k∈Z)，当k＝1时，x＝π3.选D.解析4．(2019·河北五校联盟摸底)把函数y＝sin2x－π6的图象向左平移π6个单位后，所得函数图象的一条对称轴为()A．x＝0B．x＝π2C．x＝π6D．x＝－π12答案C答案解析解析5．(2018·天津高考)将函数y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数()A．在区间－π4，π4上单调递增B．在区间－π4，0上单调递减C．在区间π4，π2上单调递增D．在区间π2，π上单调递减答案A答案解析将y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数为y＝sin2x－π10＋π5＝sin2x，当2kπ－π2≤2x≤2kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－π4≤x≤kπ＋π4(k∈Z)时，y＝sin2x单调递增，令k＝0，则x∈－π4，π4，所以y＝sin2x在－π4，π4上单调递增，故选A.解析核心考向突破考向一三角函数的图象变换例1将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()A．y＝sin2x－π10B．y＝sin2x－π5C．y＝sin12x－π10D．y＝sin12x－π20答案C答案解析将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移π10个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝sinx－π10；再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是y＝sin12x－π10.故选C.解析触类旁通两种图象变换的区别由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω0)个单位长度．即时训练1.将函数y＝cosx－π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是()A．x＝π4B．x＝π6C．x＝πD．x＝π2答案D答案解析y＝cosx－π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y＝cos12x－π3y＝cos12x＋π6－π3，即y＝cos12x－π4.由余弦函数的性质知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当x＝π2时，y＝cos12×π2－π4＝1.故选D.解析考向二求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，－π≤φπ)的图象如图所示，则φ＝________.答案9π10答案解析由图象可知ω＝45，当x＝2π时，y＝1，∴45×2π＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.∵－π≤φπ，∴φ＝9π10.解析触类旁通确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0)的解析式的步骤(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.2求ω，确定函数的周期T，则ω＝2πT.3求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入此时A，ω，b已知或代入图象与直线y＝b的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.即时训练2.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)ω0，|φ|π2，y＝f(x)的部分图象如图所示，则fπ24＝________.答案3答案解析由图象可知，T2＝3π8－π8，即π2ω＝π4，所以ω＝2，再结合图象，可得2×π8＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即|φ|＝kπ＋π4π2，所以－34k14，只有k＝0，所以φ＝π4，又图象过点(0,1)，代入得Atanπ4＝1，所以A＝1，函数的解析式为f(x)＝tan2x＋π4，则fπ24＝tanπ3＝3.解析考向三函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质角度1函数图象与性质的综合应用例3(2019·山西模拟)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.kπ－14，kπ＋34，k∈ZB.2kπ－14，2kπ＋34，k∈ZC.k－14，k＋34，k∈ZD.2k－14，2k＋34，k∈Z答案D答案解析由图象可知ω4＋φ＝π2＋2mπ，5ω4＋φ＝3π2＋2mπ，m∈Z，所以ω＝π，φ＝π4＋2mπ，m∈Z，所以函数f(x)＝cosπx＋π4＋2mπ＝cosπx＋π4的单调递减区间为2kππx＋π42kπ＋π，k∈Z，即2k－14x2k＋34，k∈Z.故选D.解析角度2图象变换与性质的综合应用例4(2018·太原模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象()A．关于直线x＝π12对称B．关于直线x＝5π12对称C．关于点π12，0对称D．关于点5π12，0对称答案B答案解析∵f(x)的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f(x)的图象向右平移π3个单位后得到g(x)＝sin2x－π3＋φ＝sin2x－2π3＋φ的图象，又g(x)的图象关于原点对称，解析∴－2π3＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝2π3＋kπ，k∈Z，又|φ|＜π2，∴φ＝－π3，∴f(x)＝sin2x－π3.当x＝π12时，2x－π3＝－π6，∴A，C错误；当x＝5π12时，2x－π3＝π2，∴B正确，D错误．解析角度3三角函数模型的简单应用例5某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？解(1)f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，因为0≤t24，所以π3≤π12t＋π37π3，－1≤sinπ12t＋π3≤1.当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.答案(2)依题意，当f(t)11时实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sinπ12t＋π3，故有10－2sinπ12t＋π311，即sinπ12t＋π3－12.又0≤t24，因此7π6π12t＋π311π6，即10t18.在10时至18时实验室需要降温．答案触类旁通1解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型fx＝Asinωx＋φ＋k中的待定系数.2研究y＝Asinωx＋φ的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题。即时训练3.(2019·安徽安庆模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的图象如图所示，则f(x)的递增区间为()A.－π12＋kπ2，5π12＋kπ2，k∈ZB.－π12＋kπ，5π12＋kπ，k∈ZC.－π6＋2kπ，5π6＋2kπ，k∈ZD.－π6＋kπ，5π6＋kπ，k∈Z答案B答案解析解法一：由图象可知A＝2，34T＝11π12－π6＝3π4，所以T＝π，故ω＝2.由f11π12＝－2，得φ＝2kπ－π3(k∈Z)．因为|φ|π2，所以φ＝－π3.所以f(x)＝2sin2x－π3.由2x－π3∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，得x∈－π12＋kπ，5π12＋kπ(k∈Z)．解析解法二：34T＝11π12－π6＝3π4，所以T＝π，π6－T4＝π6－π4＝－π12，π6＋T4＝π6＋π4＝5π12，所以f(x)的递增区间是kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．故选B.解析4．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移y(cm)和时间t(s)之间关系的一个三角函数关系式为________．t/s00.10.20.30.40.50.60.70.8y/cm－4.0－2.80.02.84.02.80.0－2.8－4.0答案y＝－4cos5π2t答案解析设y＝Asin(ωt＋φ)，则从表中可以得到A＝4，T＝0.8，所以ω＝2πT＝2π0.8＝5π2，所以y＝4sin5π2t＋φ，又由4sinφ＝－4.0，得sinφ＝－1，取φ＝－π2，故y＝4sin5π2t－π2＝－4cos5π2t.解析5．(2019·昆明模拟)把函数y＝sin2x的图象沿x轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y＝f(x)的图象，对于函数y＝f(x)有以下四个判断