2020版高考数学一轮复习 第四篇 平面向量 第1节 平面向量的概念及线性运算课件 文 新人教A版

第四篇平面向量(必修4)返回导航五年新课标全国卷试题分析高考考点、示例分布图命题特点1.高考在本篇一般命制2个小题，分值占5分．2．高考在本篇重点考查平面向量的线性运算、坐标运算、向量的平行与垂直、数量积等．属容易题．返回导航第1节平面向量的概念及线性运算最新考纲1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义.返回导航【教材导读】1．两个不同向量能比较大小吗？提示：不能．返回导航2．共线向量定理中为什么规定a≠0?提示：若不规定a≠0，则λ可能不存在，也可能有无数个．返回导航3．当a∥b，b∥c时，一定有a∥c吗？提示：不一定．当b≠0时，有a∥c.当b＝0时，a，c可以是任意向量，不一定共线．返回导航1．向量的有关概念(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量．(2)表示方法：①用字母表示：如a，b，c等；②用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．如AB→，CD→等．(3)模：向量的大小叫做向量的模，记作|a|，|b|或|AB→|，|CD→|.返回导航2．特殊向量名称定义备注零向量长度为零的向量记作0，0的方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的同向单位向量为a|a|平行(共线)向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行(或共线)返回导航相等向量长度相等且方向相同的向量两个向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0返回导航3.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)返回导航减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差返回导航数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|.当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb返回导航4.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa．返回导航【重要结论】A，B，C三点共线，O为A，B，C所在直线外任一点，则：OA→＝λOB→＋μOC→且λ＋μ＝1.返回导航1．设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则()(A)PA→＋PB→＝0(B)PC→＋PA→＝0(C)PB→＋PC→＝0(D)PA→＋PB→＋PC→＝0答案：B返回导航2.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()(A)12a＋b(B)12a－b(C)a＋12b(D)a－12b答案：A返回导航3．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．其中错误的命题的个数为()(A)1(B)2(C)3(D)0返回导航B解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.故选B.返回导航4．已知O，A，B，C是平面内的不同的四个点，且OA→＝xOB→＋yOC→，则“x＋y＝1”是“A，B，C三点共线”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分条件(D)既不充分也不必要条件答案：C返回导航5．已知向量i与j不共线，且AB→＝i＋mj，AD→＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n满足的条件是()(A)m＋n＝1(B)m＋n＝－1(C)mn＝1(D)mn＝－1返回导航C解析：因为A，B，D三点共线，所以AB→＝λAD→⇔i＋mj＝λ(ni＋j)，m≠1，又向量i与j不共线，所以1＝λn，m＝λ，所以mn＝1.返回导航考点一平面向量的基本概念(1)给出下列命题：①若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；②若a＝b，b＝c，则a＝c；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________．返回导航(2)已知OA→＝(2，0)，OB→＝(0，2)，AC→＝tAB→，t∈R.当|OC→|最小时，t＝________．解析：(1)①正确．∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB→∥DC→且|AB→|＝|DC→|，因此，AB→＝DC→.返回导航②正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是①②.返回导航(2)∵AC→＝tAB→，∴OC→－OA→＝t(OB→－OA→)，得OC→＝tOB→＋(1－t)OA→，＝(2－2t，2t)，|OC→|＝（2－2t）2＋4t2＝22t－122＋12，当t＝12时，|OC→|有最小值2，故答案为12.答案：(1)①②(2)12返回导航【反思归纳】解平面向量有关概念问题的关键点(1)准确理解向量的基本概念．(2)熟记一些常用结论．①向量相等具有传递性，向量共线不具有传递性，但非零向量的共线具有传递性；②向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可比较大小．返回导航【即时训练】下列说法正确的个数是()(1)温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；(2)零向量没有方向；(3)向量的模一定是正数；(4)非零向量的单位向量是唯一的．(A)0(B)1(C)2(D)3B解析：(1)错误，只有速度和位移是向量；(2)错误，零向量是有方向的，它的方向是任意的；(3)错误，|0|＝0；(4)显然正确．返回导航考点二平面向量的线性运算考查角度1：求平面向量的和．点M是△ABC的重心，则MA→＋MB→－MC→等于()(A)0(B)4ME→(C)4MF→(D)4MD→C解析：MA→＋MB→－MC→＝2MF→－(－2MF→)＝4MF→.故选C.返回导航【反思归纳】解题的关键是搞清各向量间关系，找出图形中的相等向量、相反向量，熟练运用向量的加法法则求解．返回导航考查角度2：用已知向量表示未知向量．设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则()(A)AD→＝－13AB→＋43AC→(B)AD→＝13AB→－43AC→(C)AD→＝43AB→＋13AC→(D)AD→＝43AB→－13AC→返回导航解析：解法一因为BC→＝3CD→，所以CD→＝13BC→，所以AD→＝AC→＋CD→＝AC→＋13BC→＝AC→＋13(AC→－AB→)＝－13AB＋43AC→.解法二因为BC→＝3CD→，所以AC→－AB→＝3(AD→－AC→)，所以AD→＝－13AB→＋43AC→.答案：A返回导航【反思归纳】(1)向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”，即第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；(2)向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”，即两个向量的起点重合，差向量由减向量的终点指向被减向量的终点；返回导航(3)平行四边形法则的要素是“起点重合”，即两个向量的起点相同，和向量的起点也相同；(4)当两向量平行时，三角形法则适用，平行四边形法则不适用；(5)向量加法的多边形法则：A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An＝A1An→.返回导航考查角度3：求参数的值．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ等于()(A)23(B)13(C)－13(D)－23返回导航解析：如图所示，过点D分别作AC，BC的平行线，分别交BC，AC于点F，E，所以CD→＝CE→＋CF→.因为AD→＝2DB→，所以CE→＝13CA→，CF→＝23CB→，故CD→＝13CA→＋23CB→，所以λ＝23.返回导航【反思归纳】求解参数问题，一般是利用向量的线性运算得到相关向量的线性表示，然后对比向量等式求出参数，或建立方程(组)求解．返回导航考点三共线向量定理及其应用设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB→＝－a＋b，BC→＝2a＋tb，CD→＝2014a－2b，且A，B，D三点共线，则t＝________．(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，则实数k＝________．返回导航解析：(1)AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(－a＋b)＋(2a＋tb)＋(2014a－2b)＝2015a＋(t－1)b，因为A，B，D三点共线，所以AB→与AD→共线．所以AD→＝μAB→(μ为实数)，即2015a＋(t－1)b＝μ(－a＋b)，解得μ＝－2015，t＝－2014.返回导航(2)因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.因为a与b是两个不共线的非零向量，所以8－λk＝0，k－2λ＝0⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，所以k＝2λ＝±4.答案：(1)－2014(2)±4返回导航【反思归纳】利用共线向量定理解题的方法(1)证明向量共线，对于向量a，b(a≠0)，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．(2)证明三点共线，若存在实数λ，使AB→＝λAC→，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．返回导航【即时训练】经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP→＝mOA→，OQ→＝nOB→，m，n∈R，求1n＋1m的值．返回导航解析：设OA→＝a，OB→＝b，则OG→＝13(a＋b)，PQ→＝(OQ→－OP→)＝nb－ma，PG→＝OG→－OP→＝13(a＋b)－ma＝13－ma＋13b.由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ→＝λPG→，即nb－ma＝λ13－ma＋13λb，从而－m＝λ（13－m），n＝13λ，消去λ，得1n＋1m＝3.返回导航平面向量的线性运算教材源题：已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA→＝a，OB→＝b，用向量a，b分别表示向量OC→，OD→，DC→，BC→.返回导航解：如图所示，OC→＝－a，OD→＝－b，DC→＝b－a，BC→＝－a－b.返回导航【方法总结】解决此类问题，一般是利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则及图形的线线关系进行转化，注意向量等式所刻画的图形关系．返回导航【源题变式】在△ABC中，AF＝13AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若AB→＝a，AC→＝b，且CE→＝xa＋yb，则x＋y＝________．解：设FB的中点为M，连接MD.因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MD∥CF.因为AF＝13AB，所以F为AM的中点，E为AD的中点．返回导航方法一因为AB→＝a，AC→＝b，D为BC的中点，所以AD→＝12(a＋b)．所以AE→＝12AD→＝14(a＋b)．所以CE→＝CA→＋AE→＝－AC→＋AE→＝－b＋14(a＋b)＝14a－34b.所以x＝14，y＝－34，所以x＋y＝－12.返回导航方法二易得EF＝12MD，MD＝12CF，所以EF＝14CF，所以CE＝34CF.因为CF→＝CA→＋AF→＝－AC→＋AF→＝－b＋13a.所以CE→＝34(－b＋13a)＝14a－34b.所以x＝14，y＝－34，则x＋y＝－12.